Triakisicosahedron

Triakisikosahedron (z jiného řeckého τριάχις - "třikrát", εἴκοσι - "dvacet" a ἕδρα - "obličej") je polopravidelný mnohostěn (katalánské tělo), dvojitý ke zkrácenému dvanáctistěnmu . Skládá se z 60 stejných tupých rovnoramenných trojúhelníků , ve kterých je jeden z úhlů stejný a ostatní dva $\arccos \left(-{\frac {3+3{\sqrt {5}}}{20}}\right)\cca 119{,}04^{\circ },$ $\arccos \,{\frac {15+{\sqrt {5}}}{20}}\cca 30{,}48^{\circ }.$

Má 32 vrcholů; ve 12 vrcholech (umístěných stejným způsobem jako vrcholy dvacetistěnu ) se sbíhají svými ostrými úhly na 10 plochách, ve 20 vrcholech (umístěných stejně jako vrcholy dvanáctistěnu ) se sbíhají s tupými úhly na 3 plochách.

Triakisicosahedron má 90 hran - 30 "dlouhých" (uspořádaných stejným způsobem jako okraje dvacetistěnu) a 60 "krátkých" (dohromady tvoří obrazec izomorfní - ale ne identický - s páteří kosočtvercového triakontaedru ). Úhel vzepětí pro jakoukoli hranu je stejný a rovný $\arccos \left(-{\frac {24+15{\sqrt {5}}}{61}}\right)\cca 160{,}61^{\circ }.$

Triakisicosahedron lze získat z dvacetistěnu připojením ke každé z jeho ploch pravidelného trojúhelníkového jehlanu se základnou rovnou ploše dvacetistěnu a výškou, která je jednou menší než strana základny. V tomto případě bude mít výsledný mnohostěn 3 plochy místo každé z 20 ploch původního – což je důvod jeho názvu. ${\frac {5{\sqrt {15}}+9{\sqrt {3}}}{2}}\cca 17{,}48$

Triakisicosahedron je jedním z šesti katalánských pevných látek, ve kterých neexistuje žádný Hamiltonův cyklus [1] ; neexistuje také žádná hamiltonovská cesta pro všech šest.

Metrické charakteristiky

Jestliže "krátké" hrany triakisikosaedru mají délku , pak jeho "dlouhé" hrany mají délku a povrchová plocha a objem jsou vyjádřeny jako $A$ ${\frac {1}{10}}\left(15+{\sqrt {5}}\right)a\cca 1{,}72a,$

S=3{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(173-9{\sqrt {5}}\right)))\;a^{2}\cca 26{, }2285960a^{2},

V={\frac {1}{4}}\left(19+13{\sqrt {5}}\right)a^{3}\cca 12{,}0172209a^{3}.

Poloměr vepsané koule (dotýkající se všech ploch mnohostěnu v jejich středech ) se pak bude rovnat

r={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{122}}\left(477+199{\sqrt {5}}\right)))\;a \cca 1{,}3745174a,

poloměr napůl vepsané koule (dotýkající se všech hran) -

\rho ={\frac {1}{10}}\left(5+4{\sqrt {5}}\right)a\cca 1{,}3944272a.

Je nemožné popsat kouli blízko triakisicosahedronu tak, aby procházela všemi vrcholy.

Poznámky

↑ Weisstein, Eric W. Graphs of Catalan Solids at Wolfram MathWorld .

Odkazy

Weisstein, Eric W. Triakisicosahedron (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .

Mnohostěn

opravit

Trojrozměrný (platónská tělesa)	pravidelný čtyřstěn Krychle Osmistěn dvanáctistěn dvacetistěn
4D	Pětibuňkový tesseract Hexadecimální buňka dvacet čtyři buňky 120 buněk Šest set buněk
Větší rozměr (uveden v závorce)	Obyčejný simplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) hyperoktaedru

Pravidelné
nekonvexní

Trojrozměrné podle počtu
tváří (uvedeno v závorkách)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
trojstěn (3)
čtyřstěn (4)
pětistěn (5)
šestistěn (6)
Heptahedron (7)
osmistěn (8)
Enneahedron (9)
Decahedron (10)
Endecahedron (11)
dvanáctistěn (12)
Tridecahedron (13)
Tetradecahedron (14)
Pentadecahedron (15)
šestistěn (16)
Heptadecahedron (17)
Octadecahedron (18)
Enneadecahedron (19)
dvacetistěn (20)
Icosotetrahedron (24)
triakontahedr (30)
Hexacontahedron (60)
Enneacontahedron (90)
Hektotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

konvexní

Archimédova tělesa

Katalánská těla

Hranoly
trojboký hranol čtyřboký hranol Pětiboký hranol Šestihranný hranol Sedmiboký hranol Osmiboký hranol Devítiúhlý hranol Dekagonální hranol Jedenáctiúhlý hranol Dvanáctiúhelníkový hranol

Johnson mnohostěn

Vzorce ,
věty ,
teorie

jiný