Pyramida (geometrie)
Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 29. září 2022; kontroly vyžadují 3 úpravy .Pyramida (z jiného řeckého πυραμίς , rod p. πυραμίδος ) je mnohostěn , jehož jedna z ploch (nazývaná základna ) je libovolný mnohoúhelník a zbývající plochy (nazývané boční plochy ) jsou trojúhelníky se společným vrcholem [1 ] . Podle počtu základních úhlů jsou jehlany trojúhelníkové ( čtyřstěny ), čtyřboké atd. Jehlan je speciální případ kužele [2] .
Historie vývoje pyramidy v geometrii
Počátek geometrie pyramidy byl položen ve starověkém Egyptě a Babylonu , ale aktivně se rozvíjel ve starověkém Řecku . Objem pyramidy znali již staří Egypťané. Prvním řeckým matematikem, který stanovil objem pyramidy, byl Democritus [3] a Eudoxus z Cnidu to dokázal . Starověký řecký matematik Euclid systematizoval znalosti o pyramidě v XII svazku svých „Počátků“ a také přinesl první definici pyramidy: pevný obrazec ohraničený rovinami, které se sbíhají z jedné roviny v jednom bodě (kniha XI, definice 12 [4] ).
Prvky pyramidy
- vrchol jehlanu je společným bodem bočních ploch, který neleží v rovině základny;
- základna - tvář, která nepatří k vrcholu pyramidy;
- boční plochy - trojúhelníkové plochy sbíhající se nahoře;
- boční hrany - hrany, které jsou stranami dvou bočních ploch (a tedy nejsou stranami základny);
- výška pyramidy je kolmice od vrcholu pyramidy k její základně;
- apotém - výška boční stěny pravidelné pyramidy tažené od jejího vrcholu;
- diagonální řez jehlanu - řez jehlanem procházející jeho vrcholem a úhlopříčkou podstavy.
Rozvíjející se pyramida
Rozvoj je plochý útvar získaný spojením povrchu geometrického tělesa s jednou rovinou (bez kladení ploch nebo jiných plošných prvků na sebe). Na začátku studia vývoje povrchu je vhodné jej považovat za flexibilní, neroztažitelný film. Některé z takto prezentovaných ploch lze ohybem kombinovat s rovinou. Navíc, pokud lze povrchovou přihrádku kombinovat s rovinou bez přerušení a slepení, pak se taková plocha nazývá rozkládání a výsledný plochý obrazec se nazývá její rozkládání.
Vlastnosti
Pokud jsou všechny boční hrany stejné , pak:
- kolem základny pyramidy lze popsat kruh a vrchol pyramidy se promítá do jejího středu;
- boční žebra svírají se základní rovinou stejné úhly;
- platí to i naopak, to znamená, že pokud boční hrany svírají se základní rovinou stejné úhly nebo pokud lze v blízkosti základny jehlanu popsat kružnici a vrchol jehlanu se promítá do jejího středu, pak všechny boční okraje pyramidy jsou stejné.
Pokud jsou boční plochy nakloněny k základní rovině pod jedním úhlem , pak:
- do základny pyramidy lze vepsat kruh a vrchol pyramidy se promítá do jejího středu;
- výšky bočních ploch jsou stejné;
- plocha boční plochy se rovná polovině součinu obvodu základny a výšky boční plochy.
Věty vztahující se k pyramidě k jiným geometrickým tělesům
Koule
- v blízkosti pyramidy lze popsat kouli , když na základně pyramidy leží mnohoúhelník, kolem kterého lze popsat kruh (nutná a postačující podmínka) [5] . Střed koule bude průsečíkem rovin procházejících středy hran jehlanu, které jsou k nim kolmé. Z této věty vyplývá, že kouli lze popsat jak o libovolném trojúhelníku, tak o jakékoli pravidelné pyramidě;
- koule může být vepsána do jehlanu , když se roviny os vnitřních dihedrálních úhlů jehlanu protínají v jednom bodě ( nutná a postačující podmínka ). Tento bod bude středem koule.
Kužel
- Kužel se nazývá vepsaný do jehlanu, pokud se jejich vrcholy shodují a jeho základna je vepsána do základny jehlanu. Navíc je možné vepsat kužel do jehlanu pouze tehdy, když jsou apotémy pyramidy navzájem stejné (nutná a postačující podmínka); [6]
- Kužel se nazývá vepsaný blízko pyramidy, když se jejich vrcholy shodují a jeho základna je vepsána blízko základny pyramidy. Navíc je možné popsat kužel v blízkosti jehlanu pouze tehdy, když jsou všechny boční hrany jehlanu navzájem stejné (nutná a postačující podmínka);
- Výšky takových kuželů a pyramid jsou si navzájem rovné.
Válec
- Válec se nazývá vepsaný do jehlanu, pokud se jedna z jeho základen shoduje s obvodem roviny vepsané do řezu jehlanu, rovnoběžné se základnou, a druhá základna patří k základně jehlanu.
- Válec se nazývá vepsaný blízko pyramidy, pokud vrchol pyramidy patří k jedné z jejích základen a její druhá základna je vepsána blízko základny pyramidy. Kromě toho je možné popsat válec v blízkosti jehlanu pouze tehdy, když je na základně jehlanu vepsaný mnohoúhelník (nutná a postačující podmínka).
Pyramidové vzorce
- Objem pyramidy lze vypočítat pomocí vzorce:
- Také objem trojúhelníkového jehlanu (čtyřstěnu) lze vypočítat pomocí vzorce [8] :
- Boční plocha je součtem ploch bočních ploch:
- Celková plocha povrchu je součtem plochy bočního povrchu a základní plochy:
- Chcete-li najít boční povrch v pravidelné pyramidě, můžete použít vzorce:
Speciální případy pyramidy
Správná pyramida
Pyramida se nazývá pravidelná, pokud její základna je pravidelný mnohoúhelník a vrchol se promítá do středu základny. Pak má následující vlastnosti:
- boční okraje pravidelného jehlanu jsou stejné;
- v pravidelné pyramidě jsou všechny boční plochy shodné rovnoramenné trojúhelníky;
- v jakékoli pravidelné pyramidě můžete vepsat a popsat kouli kolem ní;
- pokud se středy vepsané a opsané koule shodují, pak součet rovinných úhlů na vrcholu jehlanu je , respektive každý z nich , , kde n je počet stran mnohoúhelníku základny [9] ;
- plocha bočního povrchu pravidelné pyramidy se rovná polovině součinu obvodu základny a apotému.
Obdélníkový jehlan
Jehlan se nazývá obdélníkový, pokud je jeden z bočních okrajů jehlanu kolmý k základně. V tomto případě je tato hrana výškou pyramidy.
Čtyřstěn
Trojúhelníkový jehlan se nazývá čtyřstěn. V čtyřstěnu lze za základ pyramidy považovat kteroukoli z tváří. Kromě toho je velký rozdíl mezi pojmy „pravidelná trojúhelníková pyramida“ a „ pravidelný čtyřstěn “. Pravidelná trojúhelníková pyramida je pyramida s pravidelným trojúhelníkem na základně (plochy musí být rovnoramenné trojúhelníky). Pravidelný čtyřstěn je čtyřstěn, ve kterém jsou všechny plochy rovnostranné trojúhelníky.
Viz také
Poznámky
- ↑ Aleksandrov A. D., Werner A. L. Geometrie. Učebnice pro ročníky 10-11 vzdělávacích institucí. - 2. vyd. - M . : Vzdělávání, 2003. - 271 s. — ISBN 5-09-010773-4 .
- ↑ Matematika v pojmech, definicích a termínech. Část 1. Průvodce pro učitele. Ed. L. V. Sabinina. M., Vzdělávání, 1978. 320 s. S. 253.
- ↑ B. L. van der Waerden. Věda probuzení. Matematika starověkého Egypta, Babylonu a Řecka. - 3. vyd. - M. : KomKniga, 2007. - 456 s. - ISBN 978-5-484-00848-3 .
- ↑ M. E. Vaščenko-Zacharčenko . Euklidovy začátky, s vysvětlujícím úvodem a komentářem . - Kyjev, 1880. - S. 473. - 749 s.
- ↑ Saakyan S. M., Butuzov V. F. Studium geometrie v 10.–11. ročníku: kniha pro učitele. - 4. vyd., přepracované .. - M . : Vzdělávání, 2010. - 248 s. — (Matematika a informatika). - ISBN 978-5-09-016554-9 .
- ↑ Pogorelov A. V. Geometrie: Učebnice pro ročníky 10-11 vzdělávacích institucí. - 8. vyd. - M . : Vzdělávání, 2008. - 175 s. — 60 000 výtisků. — ISBN 978-5-09-019708-3 .
- ↑ Geometrie podle Kiselyova Archivováno 1. března 2021 na Wayback Machine , §357 .
- ↑ Kushnir I. A. Triumf školní geometrie. - K . : Naše hodina, 2005. - 432 s. - ISBN 966-8174-01-1 .
- ↑ Gotman E. Vlastnosti pravidelné pyramidy vepsané do koule Archivováno 22. ledna 2012 na Wayback Machine // Kvant. - 1998. - č. 4.
Literatura
- Alexandrov A. D., Werner A. L. Geometrie. Učebnice pro ročníky 10-11 vzdělávacích institucí. - 2. vyd. - M . : Vzdělávání, 2003. - 271 s. — ISBN 5-09-010773-4 .
- Kalinin A. Yu., Tereshin D. A. Stereometrie . 11. třída - 2. vyd. - M .: Fizmatkniga, 2005. - 332 s. — ISBN 5-89155-134-9 .
- A. P. Kiselev, Geometrie podle Kiseleva , arΧiv : 1806.06942 [matematický HO].
- Pogorelov A. V. Geometrie: Učebnice pro ročníky 10-11 vzdělávacích institucí. - 8. vyd. - M . : Vzdělávání, 2008. - 175 s. — 60 000 výtisků. — ISBN 978-5-09-019708-3 .
Odkazy
- Papírové modely pyramid Archivovány 4. ledna 2010 na Wayback Machine
- "Počátky" Euklida .
 Slovníky a encyklopedie |
|
|---|---|
| V bibliografických katalozích |