Jonesův polynom

Jonesův polynom je invariant polynomického uzlu , který přiřazuje každému uzlu nebo spojení Laurentův polynom ve formální proměnné s celočíselnými koeficienty. Postaven Vaughnem Jonesem v roce 1984 . $t^{{1/}}$

Definice prostřednictvím Kauffmanovy závorky

Pro daný orientovaný spoj je definován pomocný polynom: $L$

X(L)=(-A^{3})^{{-w(L)}}\langle L\rangle

kde je číslo zkroucení diagramu a je Kauffmanova závorka . Číslo zkroucení je definováno jako rozdíl mezi počtem kladných křížení a počtem záporných křížení a není invariantem uzlu: není zachováno při Reidemeisterových transformacích typu I. $w(L)$ $L$ $\langle L\rangle$ $L_{{+}}$ $L_{{-}}$

$X(L)$ je uzel invariantní, protože je invariantní pod všemi třemi Reidemeisterovými transformacemi diagramu . Invariance v rámci transformací typu II a III vyplývá z invariance Kauffmanovy závorky a čísla zkroucení pod těmito transformacemi. Naproti tomu u transformace typu I je Kauffmanova závorka násobena , což je přesně kompenzováno změnou +1 nebo -1 v čísle zkroucení . $L$ $-A^{{\pm 3}}$ $w(L)$

Jonesův polynom je určen ze substituce: $X(L)$

A=t^{{-1/4}}

výsledný výraz je Laurentův polynom v proměnné . $t^{{1/}}$

Definice z hlediska reprezentace copánkové skupiny

Jonesova původní definice používá operátorovou algebru a představu stopy reprezentace copu, která vznikla ve statistické mechanice ( Pottův model ).

Alexandrova věta tvrdí, že jakýkoli článekje uzavřením opletuvlákny, v souvislosti s tím je možné definovat reprezentacigrupy opletusevlákny na Temperley-Liebově algebře s koeficienty oda. Standardní generátor opleteníje, kde jsou standardní generátory Temperley-Lieb algebry. Procopánkovéslovo, kde je Markovova stopa , je výsledkem, kde je hranatý polynom. $L$ $n$ $\rho$ $B_{n}$ $n$ $TL_{n}$ $\mathbb {Z} [A,A^{-1}]$ ${\displaystyle \delta =-A^{2}-A^{-2))$ $\sigma_i$ $A\cdot e_{i}+A^{-1}\cdot 1$ ${\displaystyle 1,e_{1},e_{2},...,e_{n-1))$ $\sigma$ $L$ $\sigma ^{n-1}tr\rho (\sigma )$ $tr$ $\langle L\rangle$ $\langle$ $\rangle$

Výhodou tohoto přístupu je, že výběrem analogických reprezentací v jiných algebrách, jako je reprezentace -matic, lze dospět ke zobecnění Jonesových invariantů (například [1] koncept Jonesova -paralelního polynomu). $R$ $k$

Definice z hlediska vztahů přadena

Jonesův polynom je jednoznačně definován skutečností, že je roven 1 na jakémkoli triviálním diagramu uzlu a následujícím vztahem skinu :

(t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_{0})=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-})

kde , , a jsou tři orientované diagramy spojů, které se shodují všude kromě malé oblasti, kde jejich chování představuje pozitivní a negativní průsečíky a hladký průchod bez společných bodů: $L_{{+}}$ $L_{{-}}$ $L_{{0}}$

Vlastnosti

Jonesův polynom má mnoho úžasných vlastností [2] [3] .

Pro spoje s lichým počtem komponent (zejména pro uzly) jsou všechny mocniny proměnné v Jonesově polynomu celočíselné a pro spoje se sudým počtem komponent jsou poloviční. $t$

Jonesův polynom spojeného součtu uzlů se rovná součinu Jonesových polynomů členů, tedy:

V(L_{1}\#L_{2})=V(L_{1})V(L_{2})

Jonesův polynom nespojeného součtu uzlů je:

V(L_{1}\cup L_{2})=-(t^{-1/2}+t^{1/2})V(L_{1})V(L_{2})

Jonesův polynom spojení článku a triviálního uzlu je: $L$

V(L\cup O)=-(t^{-1/2}+t^{1/2})V(L)

Pro orientovaný spoj získaný z daného orientovaného spoje nahrazením orientace nějaké komponenty opačnou, máme: $L^{*_{k))$ $L$ $k$

V_{L^{*}}=t^{-3\cdot \lambda }\cdot V(L)

kde je spojovací koeficient složky a . $\lambda$ $k$ $Lk$

Jonesův polynom se nemění při obrácení uzlu, tedy při obrácení směru bypassu (změna orientace).

Zrcadlově symetrický obraz vazby má Jonesův polynom, který se získá nahrazením s (vlastnost lze snadno ověřit pomocí definice z hlediska Kauffmanovy závorky). $t$ $t^{{-1}}$

Pokud je uzel, pak: $K$

V_{K}(e^{2\pi i/3})=1

Hodnota Jonesova polynomu pro odkaz s počtem komponent odkazu v bodě 1: $L$ $p$

V_{L}(1)=(-2)^{p-1}

Jonesův polynom -torického uzlu: $(m, n)$

V(t)={\frac {t^{\frac {(m-1)\cdot (n-1)}{2}}\cdot (1-t^{m+1}-t^ {n+1}+t^{m+n})}{1-t^{2}}}

Otevřené problémy

V roce 2003 byla zkonstruována rodina netriviálních vazeb s Jonesovým polynomem rovným Jonesovu polynomu triviálního spojení [4] , přičemž není známo, zda existuje netriviální uzel, jehož Jonesův polynom je stejný jako ten. triviálního uzlu. V roce 2017 byla zkonstruována rodina netriviálních uzlů s průniky, pro které je Jonesův polynom kongruentní s jednotným modulem [5] . ${\displaystyle K_{r))$ $20\cdot 2^{r-1}+1$ $V(K_{r})$ $2^{r}$

Variace a zobecnění

Chern-Simonsova teorie popisuje topologické uspořádání ve stavech zlomkového kvantového Hallova jevu. Z matematického hlediska je Chern-Simonsova teorie zajímavá, protože umožňuje vypočítat invarianty uzlů, jako je Jonesův polynom.

V roce 2000 Michail Khovanov zkonstruoval řetězový komplex pro uzly a články a ukázal, že homologie tohoto komplexu je invariant uzlu ( Khovanovova homologie ). Tato homologická teorie je kategorizací Jonesova polynomu, tj. Jonesův polynom je Eulerova charakteristika pro tuto homologii.

Polynom HOMFLY je podobným invariantem uzlu a vazby.

Poznámky

↑ Murakami J., Paralelní verze polynomiálních invariantů odkazů Archivováno 2. června 2016 na Wayback Machine , Osaka J. Math., 1989.
↑ Jones, VFR, Polynomiální invariant pro uzly prostřednictvím von Neumannových algeber Archivováno 19. ledna 2022 ve Wayback Machine , Bull. amer. Matematika. Soc., 12:103-111,1987.
↑ Duzhin S. V., Chmutov S. V. Uzly a jejich invarianty , Mat. osvěta, 1999, číslo 3, 59-93.
↑ Eliahou S., Kauffman L., Thistlethwaite M. Nekonečné rodiny vazeb s triviálním Jonesovým polynomem, 2003. . Získáno 1. října 2017. Archivováno z originálu 6. května 2021. (neurčitý)
↑ Eliahou S., Fromentin J. A Remarkable 20-crossing Tangle, 2017. . Získáno 1. října 2017. Archivováno z originálu dne 5. října 2021. (neurčitý)

Literatura

Prasolov V. V. , Sosinsky A. B. Uzly, články, prýmky a trojrozměrné rozdělovače . - M .: MTSNMO , 1997. - ISBN 5-900916-10-3 .

Teorie uzlů a vazeb
Hyperbolický	Osm ( 41 ) Tři poloviční otáčky (5 2 ) Stevedoring ( 61 ) 6 2 6 3 74 _ Mat Carrick ( 818 ) Pár Percos (10 161 ) Krajka (−2,3,7) (12n242) Whitehead (52 1) Boromejské prsteny (63 2) L10a140
satelit	sloučenina ( babiy ) rovný Součet uzlů
torický	Triviální (0 1 ) Trojlístek ( 31 ) Potentilla (5 1 ) Seven-leaf (7 1 ) Unlinked (02 1) Hopf (22 1) Šalamoun (42 1)
Invarianty	střídavé Arfa invariant Počet mostů ( 2 mosty ) Brunnianský odkaz Chiralita ( reverzibilní ) Počet filmů Počet křižovatek Vasiliev invariantní Hyperbolický objem Khovanovova homologie Rod Skupina uzlů Skupina ozubených kol Převodový poměr Polynomy ( Alexandr Kauffmanův držák HOMFLY Jones Kaufman ) Zasnoubení krajky Jednoduchý uzel ( seznam ) Počet segmentů Počet trikolorních zbarvení Počet a úkol rozvázání
Notace a operace	Notace Alexander–Briggs Conwayova notace Docker notace Mutace Reidemeister hnutí Skene poměr
jiný	Alexandrova věta Berge uzel copánková teorie Conwayova koule Dokončení uzlu Dvojitý torusový uzel Vrstvený uzel Páska Střih Součet uzlů Tateovy hypotézy Zkroucený Divoký Twist číslo Seifertův povrch