Kosočtverec zkrácený ikosidodekaedr

Kosočtverec zkrácený ikosidodekaedr
( rotující model , 3D model )
Typ	Archimédovo tělo
Vlastnosti	konvexní , izogonální
Kombinatorika
Prvky	62 ploch 180 hran 120 vrcholů X  = 2
Fazety	30 čtverců 20 šestiúhelníků 12 desetiúhelníků
Konfigurace vertexu	4.6.10
Dvojitý mnohostěn	hexakisicosahedron
Skenovat
Klasifikace
Notový zápis	bD, taD
symbol Schläfli	tr{5,3}
Skupina symetrie	I h (ikosaedrický)
kvantitativní data
Pevný úhel na vrcholu
Mediální soubory na Wikimedia Commons

Kosočtverečný komolý ikosidodekaedr [1] nebo komolý ikosidodekaedr [2] [3] je polopravidelný mnohostěn (archimedovské těleso) s 62 plochami, složený z 30 čtverců , 20 pravidelných šestiúhelníků a 12 pravidelných desetiúhelníků .

V každém z jeho 120 identických vrcholů se sbíhá jedna čtvercová plocha, jedna šestiúhelníková a jedna desetiúhelníková plocha. Prostorový úhel ve vrcholu je přesně

Má 180 stejně dlouhých žeber. Na 60 hranách (mezi čtvercovými a šestihrannými plochami) jsou úhly dvojstěnu stejné na 60 hranách (mezi čtvercovými a desetihrannými plochami) na 60 hranách (mezi šestihrannými a desetihrannými plochami)

Název „zkrácený ikosidodekaedr“, který tomuto mnohostěnu původně dal Kepler , může být zavádějící. Faktem je, že v důsledku operace zkrácení , „odříznutí“ 30 čtyřúhelníkových pyramid z ikosidodekaedru , můžete získat jen mírně odlišný mnohostěn, jehož čtyřúhelníkové plochy jsou zlaté obdélníky , nikoli čtverce. Výsledný mnohostěn není polopravidelný; je však izomorfní ke skutečnému kosočtvercovému zkrácenému ikosidodekaedru a lze z něj vytvořit jeden s mírnou deformací.

V souřadnicích

Kosočtverečný zkrácený ikosidodekaedr lze uspořádat v kartézském souřadnicovém systému tak, že souřadnice jeho vrcholů jsou všechny možné cyklické permutace množin čísel

kde je poměr zlatého řezu .

V tomto případě bude počátkem souřadnic střed symetrie mnohostěnu, stejně jako střed jeho opsaných a polovepsaných koulí .

Metrické charakteristiky

Pokud má zkrácený ikosidodekaedr hranu délky , jeho povrch a objem jsou vyjádřeny jako

Poloměr opsané koule (procházející všemi vrcholy mnohostěnu) se pak bude rovnat

poloměr napůl vepsané koule (dotýkající se všech hran v jejich středech) -

Je nemožné vměstnat kouli do zkráceného ikosidodekaedru tak, aby se dotýkala všech tváří. Poloměr největší koule, kterou lze umístit do kosodélníkového komolého ikosidodekaedru s hranou (dotkne se pouze všech desetiúhelníkových ploch v jejich středech) je

Vzdálenosti od středu mnohostěnu k šestiúhelníkové a čtvercové ploše jsou větší a stejné

Pozoruhodné vlastnosti

Mezi všemi platónskými tělesy , Archimedovými tělesy a Johnsonovými tělesy s danou délkou hrany má kosočtverečný zkrácený ikosidodekaedr největší objem, největší plochu povrchu a největší průměr.

Mezi všemi platónskými tělesy, Archimedovými tělesy a Johnsonovými tělesy má kosočtvercový komolý ikosidodekaedr největší počet vrcholů a největší počet hran (ale ne největší počet ploch - zde zaujímá první místo tupý dvanáctistěn ).

Poznámky

1. ↑ Wenninger 1974 , str. 20, 40.
2. ↑ Encyklopedie elementární matematiky, 1963 , s. 437, 434.
3. ↑ Lyusternik, 1956 , str. 184.

Odkazy

• Weisstein, Eric W. Rhombotruncated icosidodecahedron  ve Wolfram MathWorld .

Literatura

• M. Wenninger . modely mnohostěnů. - Svět , 1974.
• Mnohoúhelníky a mnohostěny // Encyklopedie elementární matematiky. Kniha čtvrtá. Geometrie / Ed. P. S. Aleksandrov , A. I. Markushevich , A. Ya. Khinchin . - M .: Státní nakladatelství fyzikální a matematické literatury , 1963. - S. 382-447.
• L. A. Lyusternik . Konvexní obrazce a mnohostěny. - M . : Státní nakladatelství technické a teoretické literatury , 1956.