Archimédovo tělo
Archimédské těleso (nebo Archimédův mnohostěn ) je konvexní mnohostěn mající dva nebo více typů pravidelných mnohoúhelníků jako plochy sousedící s identickými vrcholy . Zde „identické vrcholy“ znamená, že pro libovolné dva vrcholy existuje izometrie celého těla, která převádí jeden vrchol do druhého.
Archimedova tělesa se liší od platónských těles ( pravidelné mnohostěny ), které se skládají pouze z jednoho typu mnohoúhelníku ve stejných vrcholech, a od Johnsonových mnohostěnů, jejichž pravidelné polygonální plochy patří k různým typům vrcholů.
Někdy je pouze požadováno, aby plochy sousedící s jedním vrcholem byly izometrické vůči plochám ve druhém vrcholu. Tento rozdíl v definicích určuje, zda se podlouhlý čtvercový gyrobikupól (pseudo-rombicuboktaedr) považuje za Archimédovo těleso nebo za Johnsonův mnohostěn – je to jediný konvexní mnohostěn, ve kterém polygonální plochy sousedí s vrcholem stejným způsobem v každém vrcholu, ale mnohostěn ano. nemají globální symetrii, která by přebírala jakýkoli vrchol k jinému. Na základě existence pseudorombikuboktaedru navrhl Grünbaum [1] terminologické rozlišení, ve kterém je Archimédovo těleso definováno tak, že má stejný vrcholový obrazec v každém vrcholu (včetně protáhlého čtvercového gyrobikupólu), zatímco jednotný mnohostěn je definován jako mající libovolný vrchol. je symetrický k jakémukoli jinému (což vylučuje gyrobikupolis ).
Hranoly a antihranoly , jejichž skupiny symetrie jsou dihedrální skupiny , nejsou obecně považovány za Archimedovy pevné látky, přestože spadají do výše uvedené definice. S tímto omezením existuje pouze konečný počet Archimedových těles. Všechna tělesa, kromě protáhlého čtvercového gyroskopu, lze získat Wythoffovými konstrukcemi z platónských těles pomocí čtyřstěnných , osmistěnných dvacetistěnných symetrií.
Název zdroje
Archimedova těla jsou pojmenována po Archimedovi , který o nich pojednával v nyní ztraceném díle. Papp se odvolává na tuto práci a uvádí, že Archimedes uvedl 13 mnohostěnů [1] . Během renesance umělci a matematici oceňovali čisté formy a znovu je všechny objevovali. Tyto studie byly téměř kompletně dokončeny kolem roku 1620 Johannesem Keplerem [2] , který definoval koncepty hranolů , antihranolů a nekonvexních těles, známých jako Kepler-Poinsotova tělesa .
Kepler možná také našel podlouhlý čtvercový gyrobikupol (pseudorhombicuboctahedron ) - alespoň tvrdil, že existuje 14 Archimedových těles. Jeho publikované výčty však obsahují pouze 13 uniformních mnohostěnů a první jasné prohlášení o existenci pseudorombiosaedru učinil v roce 1905 Duncan Somerville [1] .
Klasifikace
Existuje 13 Archimedových těles (nepočítáme -li podlouhlý čtvercový gyrobikupol ; 15, pokud se vezmou v úvahu zrcadlové obrazy dvou enantiomorfů , které jsou uvedeny samostatně níže).
Zde konfigurace vrcholu odkazuje na typy pravidelných mnohoúhelníků, které sousedí s vrcholem. Například konfigurace vrcholu (4,6,8) znamená, že čtverec , šestiúhelník a osmiúhelník se setkávají ve vrcholu (pořadí výčtu se bere ve směru hodinových ručiček od vrcholu).
| Název (alternativní název) |
Schläfli Coxeter |
Průhledný | Neprůhledný | Skenovat | Vertexová postava |
tváře | žebra | Vrcholy | Objem (s jedním okrajem) |
Bodová skupina | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| zkrácený čtyřstěn | {3,3}  
|
( rotace ) |
3.6.6 |
osm | 4 trojúhelníky 4 šestiúhelníky |
osmnáct | 12 | 2,710576 | T d | ||
| Cuboctahedron (rhombotetrahedron) |
r{4,3} nebo rr{3,3} nebo
|
( rotace ) |
3.4.3.4 |
čtrnáct | 8 trojúhelníků 6 čtverců |
24 | 12 | 2,357023 | O h | ||
| komolá krychle | t{4,3}
|
( rotace ) |
3.8.8 |
čtrnáct | 8 trojúhelníků 6 osmiúhelníků |
36 | 24 | 13,599663 | O h | ||
| Zkrácený osmistěn (zkrácený čtyřstěn) |
t{3,4} nebo tr{3,3}nebo
|
( rotace ) |
4.6.6 |
čtrnáct | 6 čtverců 8 šestiúhelníků |
36 | 24 | 11,313709 | O h | ||
| Rhombicuboctahedron (malý kosočtverec) |
rr{4,3}
|
( rotace ) |
3.4.4.4 |
26 | 8 trojúhelníků 18 čtverců |
48 | 24 | 8,714045 | O h | ||
| Zkrácený kuboktaedr (velký rhombicuboktaedr) |
tr{4,3}
|
( rotace ) |
4.6.8 |
26 | 12 čtverců 8 šestiúhelníků 6 osmiúhelníků |
72 | 48 | 41,798990 | O h | ||
| Snub kostka (snub cuboctahedron) |
sr{4,3}
|
( rotace ) |
3.3.3.3.4 |
38 | 32 trojúhelníků 6 čtverců |
60 | 24 | 7,889295 | Ó | ||
| ikosidodekaedru | r{5,3}
|
( rotace ) |
3.5.3.5 |
32 | 20 trojúhelníků 12 pětiúhelníků |
60 | třicet | 13,835526 | já h | ||
| zkrácený dvanáctistěn | t{5,3}
|
( rotace ) |
3.10.10 |
32 | 20 trojúhelníků 12 desetiúhelníků |
90 | 60 | 85,039665 | já h | ||
| Zkrácený dvacetistěn | t{3,5}
|
( rotace ) |
5.6.6 |
32 | 12 pětiúhelníků 20 šestiúhelníků |
90 | 60 | 55,287731 | já h | ||
| Rhombicosidodecahedron (malý rhombicosidodecahedron) |
rr{5,3}
|
( rotace ) |
3.4.5.4 |
62 | 20 trojúhelníků 30 čtverců 12 pětiúhelníků |
120 | 60 | 41,615324 | já h | ||
| Kosočtverec zkrácený ikosidodekaedr | tr{5,3}
|
( rotace ) |
4.6.10 |
62 | 30 čtverců 20 šestiúhelníků 12 desetiúhelníků |
180 | 120 | 206,803399 | já h | ||
| Snub dodecahedron (snub icosidodecahedron) |
sr{5,3}
|
( rotace ) |
3.3.3.3.5 |
92 | 80 trojúhelníků 12 pětiúhelníků |
150 | 60 | 37,616650 | já | ||
Některé definice polořadovky-pravidelné polyhedra zahrnují další pevnou látku, prodloužený čtvercový gyrobikupol nebo “pseudo-rhombicuboctahedron” [3] .
Vlastnosti
Počet vrcholů se rovná poměru 720° k rohovému defektu ve vrcholu.
Cuboctahedron a icosidodecahedron jsou okrajově homogenní a nazývají se kvaziregulární .
Dvojité mnohostěny Archimédových těles se nazývají katalánská tělesa . Spolu s bipyramidami a lichoběžníky jsou to těla jednotná ve tvářích s pravidelnými vrcholy.
Chiralita
Snub cube a snub dodecahedron jsou chirální , protože se objevují v levotočivé a pravotočivé variantě. Pokud má něco několik druhů, které jsou navzájem trojrozměrnými zrcadlovými obrazy , tyto formy se nazývají enantiomorfy (tento název se také používá pro některé formy chemických sloučenin ).
Konstrukce Archimedových těles
Různá archimedovská a platónská tělesa lze od sebe odvodit pomocí několika operací. Počínaje platónskými tělesy můžete použít operaci oříznutí rohu . Pro zachování symetrie je zkrácení provedeno rovinou kolmou k přímce spojující roh se středem mnohoúhelníku. V závislosti na tom, jak hluboko je zkrácení provedeno (viz tabulka níže), dostáváme různá platónská a archimedovská (a další) tělesa. Natažení nebo zkosení se provádí posunutím ploch (ve směru) od středu (stejná vzdálenost, aby byla zachována symetrie) a poté vytvořením konvexního trupu. Rozšíření s rotací se provádí také otáčením ploch, čímž se obdélníky, které se objevují v místech hran, rozbijí na trojúhelníky. Poslední konstrukcí, kterou zde uvádíme, je seříznutí jak rohů, tak hran. Pokud se ignoruje změna měřítka, lze expanzi také považovat za zkrácení rohu a hrany, ale se specifickým vztahem mezi oříznutím rohu a hrany.
| Symetrie | čtyřstěnný |
Octahedral |
dvacetistěnný | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Počáteční provoz karoserie |
znak {p, q}  
|
čtyřstěn {3,3} |
Kostka {4,3} |
osmistěn {3,4} |
Dvanáctstěn {5,3} |
Ikosahedr {3,5} |
| Zkrácení (t) | t{p, q}
|
zkrácený čtyřstěn |
komolá krychle |
zkrácený osmistěn |
zkrácený dvanáctistěn |
Zkrácený dvacetistěn |
| Kompletní zkrácení (r) Kazatelna (a) |
r{p, q}
|
tetratetrahedron |
Kuboktaedr |
ikosidodekaedru | ||
| Hluboké zkrácení (2t) (dk) |
2t{p,q}
|
zkrácený čtyřstěn |
zkrácený osmistěn |
komolá krychle |
zkrácený dvacetistěn |
zkrácený dvanáctistěn |
| Dvojité úplné zkrácení (2r) Duální (d) |
2r{p, q}
|
čtyřstěn |
osmistěn |
krychle |
dvacetistěn |
dvanáctistěn |
| Zkosení (rr) Protažení (e) |
rr{p, q}
|
Kuboktaedr |
Rhombicuboktaedron |
rhombicosidodecahedron | ||
| Narovnání náběhů (sr) Narovnání (s) |
sr{p, q}
|
snub tetratetraedron |
snub kostka |
utlačovaný ikosidodekaedr | ||
| bevel-truncation (tr) Bevel (b) |
tr{p, q}
|
zkrácený osmistěn |
Zkrácený kuboktaedr |
Kosočtverec zkrácený ikosidodekaedr | ||
Všimněte si duality mezi krychlí a osmistěnem a mezi dvanáctistěnem a dvacetistěnem. Také, částečně kvůli self-dualitě čtyřstěnu, pouze jedno Archimédovo těleso má pouze jednu čtyřstěnnou symetrii.
Viz také
- Aperiodické obklady
- Archimedes hrabě
- Seznam jednotných mnohostěnů
- Toroidní mnohostěn
- Kvazikrystal
- Polopravidelný mnohostěn
- pravidelný mnohostěn
- Jednotný mnohostěn
- Icosohedral twin
Poznámky
- ↑ 1 2 3 Grünbaum, 2009 .
- ↑ Field, 1997 , str. 241-289.
- ↑ Malkevitch, 1988 , s. 85.
Literatura
- Field J. Znovuobjevení archimedovského mnohostěnu: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro a Johannes Kepler // Archiv pro historii exaktních věd. - Springer, 1997. - Sv. 50, č. 3-4. — ISSN 0003-9519 .
- Grunbaum, Branko. Trvalá chyba // Elemente der Mathematik. - 2009. - Sv. 64, č.p. 3. - S. 89-101. - doi : 10.4171/EM/120 . . Přetištěno v The Best Writing on Mathematics 2010 / Mircea Pitici. — Princeton University Press, 2011. — S. 18–31 .
- Malkevitch, Joseph. . Shaping Space: A Polyhedral Approach / M. Senechal, G. Fleck. - Boston: Birkhäuser, 1988. - S. 80–92.
- Pugh, Anthony. . Polyhedra: Vizuální přístup. - Kalifornie: University of California Press Berkeley, 1976. - ISBN 0-520-03056-7 . Kapitola 2
- Udaya, Jayatilake. Výpočty na ploše a vrcholu pravidelného mnohostěnu // Mathematical Gazette. - 2005. - Sv. 89, č.p. 514.—S. 76–81.
- Williams, Robert. . Geometrický základ přírodní struktury: Zdrojová kniha designu . - Dover Publications, Inc., 1979. - ISBN 0-486-23729-X . (část 3–9)
Odkazy
- Weisstein, Eric W. Archimedean solid (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
- Archimedean Solids Archivováno 20. února 2016 na Wayback Machine od Erica W. Weissteina , Wolfram Demonstrations Project .
- Papírové modely Archimedean Solids a Catalan Solids Archived 20. února 2016 na Wayback Machine
- Bezplatné papírové modely (sítě) Archimedových těles Archivováno 6. února 2016 na Wayback Machine
- The Uniform Polyhedra Archived 11. února 2008 na Wayback Machine od Dr. R. Mader
- Virtuální realita Polyhedra Archivováno 23. února 2008 na Wayback Machine , The Encyclopedia of Polyhedra od George W. Harta
- Předposlední modulární origami Archivováno 15. července 2010 na Wayback Machine od Jamese S. Planka
- Interaktivní 3D mnohostěny v Javě
- Solid Body Viewer (nedostupný odkaz) Interaktivní 3D prohlížeč mnohostěnů, který umožňuje uložit model ve formátu svg, stl nebo obj.
- Stella: Polyhedron Navigator Archivováno 9. července 2010 na Wayback Machine : Software pro vytváření obrázků, z nichž mnohé jsou uvedeny na této stránce.
- Papírové modely Archimedova (a dalších) mnohostěnů archivované 25. ledna 2021 na Wayback Machine