Dvacetistěn

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 21. července 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Ikosahedr (z jiného řeckého εἴκοσι  - dvacet a ἕδρα - platforma [1] ) je mnohostěn s 20 plochami.

Existuje nekonečně mnoho nepodobných dvacetistěnů, z nichž některé mají větší symetrii, jiné méně. Nejznámější ( konvexní , nehvězdicový ) pravidelný dvacetistěn  je jedním z pravidelných mnohostěnů , jehož plochy tvoří 20 pravidelných trojúhelníků .

Pravidelný dvacetistěn

Dva typy pravidelných dvacetistěnů

Konvexní pravidelný dvacetistěn
Velký dvacetistěn

Existují dvě tělesa, jedna konvexní a jedna nekonvexní, obě se nazývají pravidelné dvacetistěny. Oba mají 30 hran a 20 pravidelných ploch trojúhelníku , které se sbíhají po 5 v každém z jeho 12 vrcholů. Oba mají ikosaedrickou symetrii . Termín "pravidelný dvacetistěn" obvykle označuje konvexní formu a nekonvexní forma se nazývá velký dvacetistěn .

Konvexní pravidelný dvacetistěn

Konvexním pravidelným dvacetistěnem se obvykle rozumí pravidelný dvacetistěn , jeden z pěti pravidelných mnohostěnů a je reprezentován Schläfliho symbolem {3, 5}. Mnohostěn má 20 trojúhelníkových ploch, 5 ploch v každém vrcholu.

Jeho duální mnohostěn je pravidelný dvanáctistěn {5, 3}, který má kolem každého vrcholu tři pravidelné pětiúhelníkové plochy.

Velký dvacetistěn

Velký dvacetistěn je jednou ze čtyř Kepler-Poinsotových hvězd . Jeho symbol Schläfli je . Stejně jako konvexní forma má také 20 ploch ve formě pravidelných trojúhelníků, ale její vrchol je pentagram , nikoli pětiúhelník, což vede ke geometricky se protínajícím plochám. Průsečíky trojúhelníků nepředstavují nové hrany.

Jeho dvojitý mnohostěn je velký hvězdicový dvanáctistěn , který má kolem každého vrcholu tři pravidelné hvězdicovité pětiúhelníkové plochy.

Hvězdice dvacetistěnu

Tvorba hvězd  je proces rozšiřování ploch nebo okrajů mnohostěnu, dokud nepřijdou do kontaktu a vytvoří nový mnohostěn. To se děje symetricky, aby si výsledné těleso zachovalo všechny symetrie mateřského tělesa.

V knize " Fifty-devět Icosahedra" (The Fifty-Nine Icosahedra) od Coxetera et al. je uvedeno 58 takových hvězdic pravidelného dvacetistěnu.

Mnohé z nich mají v každé z 20 rovin samostatný obličej, a proto jsou také dvacetistěny. Velký dvacetistěn je mezi nimi.

Jiné tvary hvězd mají více než jednu plochu na rovinu nebo jsou tvořeny jako složenina jednodušších mnohostěnů. Nejsou to, přísně vzato, dvacetistěny, i když jsou tak často označovány.

 Hvězdné tvary dvacetistěnu

Pyritoedrická symetrie

Pyritoedrické a tetraedrické symetrie
Coxeterovy grafy CDel uzel h.pngCDel 3.pngCDel uzel h.pngCDel 4.pngCDel uzel.png(pyramedrální)
CDel uzel h.pngCDel 3.pngCDel uzel h.pngCDel 3.pngCDel uzel h.png(tetraedrální)
symbol Schläfli s{3,4}
sr{3,3} nebo
Fazety 20 trojúhelníků:
8 pravidelných
12 rovnoramenných
žebra 30 (6 krátkých + 24 dlouhých)
Vrcholy 12
Skupina symetrie Th , [ 4,3 + ], (3*2), pořadí 24
Rotační skupiny Td , [ 3,3] + , (332), pořadí 12
Dvojitý mnohostěn pyritehedron
Vlastnosti konvexní

Skenovat
Pravidelný dvacetistěn je topologicky totožný s kuboktaedrem se 6 čtvercovými plochami rozdělenými diagonálně.

Pravidelný dvacetistěn může být zakřivený nebo označený tak, že má nižší pyroedrální symetrii [2] a nazývá se snub octahedron , snub tetratetrahedron , snub tetrahedron a pseudoicosahedron . To může být viděno jako střídavý zkrácený octaedron . Pokud jsou všechny trojúhelníky pravidelné , lze symetrie odlišit obarvením sad 8 a 12 trojúhelníků odlišně.

Pyritoedrická symetrie má symbol (3*2), [3 + ,4] a řád 24. Čtyřboká symetrie má symbol (332), [3,3] + a řád 12. Tyto nízké symetrie umožňují deformaci 20 rovnostranných trojúhelníkových ploch, v 8 pravidelných trojúhelníkech a 12 shodných rovnoramenných trojúhelníkech .

Tyto symetrie dávají Coxeterovy diagramy :CDel uzel.pngCDel 4.pngCDel uzel h.pngCDel 3.pngCDel uzel h.pngaCDel uzel h.pngCDel 3.pngCDel uzel h.pngCDel 3.pngCDel uzel h.pngrespektive, a oba mají nižší symetrii než symetrie CDel uzel 1.pngCDel 3.pngCDel uzel.pngCDel 5.pngCDel uzel.png, (*532), [5,3] řád 120 pravidelného dvacetistěnu .

Kartézské souřadnice

12 vrcholových souřadnic může být dáno vektory definovanými všemi kladnými cyklickými permutacemi a znaménkovými změnami souřadnic tvaru (2, 1, 0). Tyto souřadnice představují zkrácený osmistěn se střídavým mazáním vrcholů.

Tato konstrukce se nazývá snub čtyřstěn , pokud je vytvořena z vektoru ( ϕ , 1, 0), kde ϕ je zlatý řez [2] .

Ikosahedr z Jessenu

V Jessenském dvacetistěnu, někdy nazývaném ortogonální Jessenův dvacetistěn , je 12 rovnoramenných ploch uspořádáno odlišně tak, aby tvořilo nekonvexní těleso. Má pravé dihedrální úhly .

Je stejně vzdálený s krychlí, což znamená, že jej lze rozřezat na menší mnohostěny, které mohou tvořit kompletní krychli.

Ostatní dvacetistěny

Rhombicosahedron

Kosočtverec je zonohedr skládající se z 20 stejných kosočtverců. Lze jej získat z kosočtvercového triakontaedru odstraněním 10 středních ploch. Přestože jsou všechny tváře shodné, kosočtverec není fasetově tranzitivní .

Symetrie pyramidy a hranolu

Obecné symetrie dvacetistěnu s pyramidami a hranoly:

Mnohostěny s pravidelným obličejem

Některé mnohostěny s pravidelnou tváří jsou dvacetistěny [3] : Johnson a Zalgallerův zápis

J 22 (M 4 + A 6 ) J 35 (M 4 + P 6 + M 4 ) J 36 (M 4 + P 6 + M 4 ) J 59 (M 3 + M 15 + M 3 ) J 60 (M 15 + 2 M 3 ) J 92 (M 20 )

Točená protáhlá trojúhelníková kopule
Prodloužená rovná dvojitá kopule se třemi sklony
Podlouhlý tri-sklon otočný bi-dome
Dvanáctstěn dvojnásobně prodloužený
Dvanáctstěn dvojnásobně prodloužený
Zploštělý trojúhelníkový klinorothon
16 trojúhelníků
3 čtverce
 
1 šestiúhelník 		8 trojúhelníků
12 čtverců 		8 trojúhelníků
12 čtverců 		10 trojúhelníků
 
10 pětiúhelníků 		10 trojúhelníků
 
10 pětiúhelníků 		13 trojúhelníků
3 čtverce
3 pětiúhelníky
1 šestiúhelník

Viz také

Rhombotriakontahedron

Poznámky

  1. ↑ Jones, 2003 .
  2. ↑ 12 John Baez . Bláznovo zlato (11. září 2011). Staženo 5. srpna 2019. Archivováno z originálu 19. května 2018.
  3. ↑ Icosahedron archivován 8. prosince 2020 na Wayback Machine na Mathworld.

Literatura