Vratný uzel

V teorii uzlů je vratný uzel uzel , který může být přeložen do sebe kontinuální deformací , ale s obrácenou orientací. Nevratný uzel je každý uzel, který tuto vlastnost nemá. Invertabilita uzlu je invariant uzlu . Reverzibilní odkaz je odkaz se stejnou vlastností.

Existuje pouze pět typů symetrie uzlu definovaných chiralitou a reverzibilitou – plně chirální, bilaterální, pozitivně achirální ireverzibilní, negativně achirální ireverzibilní a plně achirální reverzibilní [1] .

Pozadí

Počet vratných a nevratných uzlů počtem průsečíků
Počet křižovatek 3 čtyři 5 6 7 osm 9 deset jedenáct 12 13 čtrnáct patnáct 16 sekvence OEIS
Nevratné uzly 0 0 0 0 0 jeden 2 33 187 1144 6919 38118 226581 1309875 sekvence A052402 v OEIS
Oboustranné uzly jeden jeden 2 3 7 dvacet 47 132 365 1032 3069 8854 26712 78830 sekvence A052403 v OEIS

Již dlouho je známo, že většina jednoduchých uzlů , jako je trojlístek a osmička , jsou vratné. V roce 1962 Ralph Fox navrhl , že některé uzly jsou nevratné, ale jejich existence nebyla prokázána, dokud HF Trotter v roce 1963 neobjevil nekonečnou rodinu nevratných krajkových článků [2] .  Nyní je známo, že téměř všechny uzly jsou nevratné [3] .

Oboustranné uzly

Všechny uzly s průsečíky 7 nebo méně jsou reverzibilní. Není známa žádná obecná metoda, která by dala odpověď, zda je uzel vratný či nikoliv [4] . Problém lze převést do algebraické terminologie [5] , ale bohužel není znám žádný algoritmus pro řešení tohoto algebraického problému.

Pokud je uzel reverzibilní a achirální , je zcela achirální. Nejjednodušší uzel s touto vlastností je osmička. Chirální reverzibilní uzly jsou klasifikovány jako bilaterální [6] .

Přísně reverzibilní uzly

Abstraktnějším způsobem, jak definovat reverzibilní uzel, je říci, že existuje 3-sférický homeomorfismus , který vezme uzel do sebe, ale obrátí orientaci uzlu. Pokud místo homeomorfismu použijeme přísnější podmínku – involuci – dostaneme definici přísně invertibilního uzlu. Všechny uzly s číslem tunelu jedna, jako je trojlístek a osmička , jsou přísně invertovatelné [7] .

Nevratné uzly

Nejjednodušším příkladem nevratného uzlu je 8 17 (v Alexander-Briggsově notaci) nebo 0,2,2 (v Conwayově notaci). Krajkový uzel 7, 5, 3 je nevratný, stejně jako všechny krajkové uzly tvaru (2 p  + 1), (2 q  + 1), (2 r  + 1), kde p , q a r jsou různá celá čísla, což dává nekonečnou rodinu uzlů, jejichž nevratnost dokázal Trotter [8] .

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Hoste, Thistlethwaite, Weeks, 1998 , s. 33–48.
  2. ↑ Klusák, 1963 , str. 275–280.
  3. ↑ Murasugi, 2007 , str. 45.
  4. ↑ Weisstein, Eric W. Invertible Knot  na webu Wolfram MathWorld . Přístup: 5. května 2013.
  5. ↑ Kuperberg, 1996 , str. 173–181.
  6. ↑ Clark, Elhamdadi, Saito, Yeatman, 2013 .
  7. ↑ Morimoto, 1995 , str. 3527-3532 Lemma 5.
  8. ↑ Klusák, 1963 , str. 275-280.

Literatura

Externí odkazy