Trojúhelník

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 8. ledna 2022; kontroly vyžadují 35 úprav .

Trojúhelník

žebra	3
symbol Schläfli	{3}
Mediální soubory na Wikimedia Commons

Trojúhelník (v euklidovském prostoru ) je geometrický útvar tvořený třemi segmenty , které spojují tři body, které neleží na jedné přímce . Tyto tři body se nazývají vrcholy trojúhelníku a segmenty se nazývají strany trojúhelníku. Část roviny ohraničená stranami se nazývá vnitřek trojúhelníku: často je trojúhelník uvažován společně s jeho vnitřkem (např. pro definování pojmu plocha) [1] .

Strany trojúhelníku svírají ve vrcholech trojúhelníku tři úhly , takže trojúhelník lze definovat také jako mnohoúhelník , který má právě tři úhly [2] , tzn. jako část roviny ohraničená třemi úsečkami, které spojují tři body, které neleží na jedné přímce. Trojúhelník je jedním z nejdůležitějších geometrických útvarů široce používaných ve vědě a technice, takže studium jeho vlastností bylo prováděno již od starověku.

Pojem trojúhelník připouští různá zobecnění. Tento koncept můžete definovat v neeuklidovské geometrii (například na kouli ): na takových plochách je trojúhelník definován jako tři body spojené geodetikou . V -dimenzionální geometrii je analogem trojúhelníku -th dimenzionální simplex . $n$ $n$

Někdy se uvažuje o degenerovaném trojúhelníku, jehož tři vrcholy leží na stejné přímce. Pokud není uvedeno jinak, předpokládá se, že trojúhelník v tomto článku není zdegenerovaný.

Základní prvky trojúhelníku

Vrcholy, strany, rohy

Tradičně jsou vrcholy trojúhelníku označeny velkými písmeny latinské abecedy: a strany proti nim - stejnými malými písmeny (viz obrázek). Trojúhelník s vrcholy , a je označen jako . Strany lze také označovat písmeny jejich ohraničujících vrcholů: , , . $A, B, C$ $A$ $B$ $C$ $\Delta ABC$ $AB=c$ $BC=a$ $CA=b$

Trojúhelník má tyto úhly: $\Delta ABC$

úhel - úhel, který tvoří strany a protilehlé straně ; $\úhel A=\úhel BAC$ $AB$ $AC$ $před naším letopočtem$
úhel - úhel, který tvoří strany a protilehlé straně ; $\úhel B=\úhel ABC$ $AB$ $před naším letopočtem$ $AC$
úhel - úhel tvořený stranami a protilehlou stranou . $\úhel C=\úhel ACB$ $před naším letopočtem$ $AC$ $AB$

Hodnoty úhlů v odpovídajících vrcholech se tradičně označují řeckými písmeny ( , , ). $\alpha$ $\beta$ $\gamma$

Vnější úhel plochého trojúhelníku v daném vrcholu je úhel sousedící s vnitřním úhlem trojúhelníku v tomto vrcholu (viz obrázek). Je-li vnitřní úhel v daném vrcholu trojúhelníku tvořen dvěma stranami vycházejícími z daného vrcholu, pak vnější úhel trojúhelníku je tvořen jednou stranou vycházející z daného vrcholu a pokračováním druhé strany vycházející z téhož vrcholu. vrchol. Vnější roh může nabývat hodnot od do . $DCA$ $ABC$ $C$ $ACB$ $0$ $180^{\circ }$

Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran a polovina této hodnoty se nazývá semiperimetr .

Klasifikace trojúhelníků

Podle velikosti úhlů

Protože v euklidovské geometrii je součet úhlů trojúhelníku , pak alespoň dva úhly v trojúhelníku musí být ostré (méně než ). Existují následující typy trojúhelníků [2] . $180^{\circ }$ $90^{\circ }$

Pokud jsou všechny úhly trojúhelníku ostré, pak se trojúhelník nazývá ostrý .
Pokud je jeden z úhlů trojúhelníku rovný (rovný ), nazýváme trojúhelník pravoúhlý . Dvě strany, které tvoří pravý úhel, se nazývají nohy a strana protilehlá pravému úhlu se nazývá přepona . $90^{\circ }$
Pokud je jeden z úhlů trojúhelníku tupý (větší než ), pak se trojúhelník nazývá tupý , Zbývající dva úhly jsou zjevně ostré (nemohou existovat žádné trojúhelníky se dvěma tupými nebo pravými úhly). $90^{\circ }$

Podle počtu stejných stran

Trojúhelník se nazývá scalene , pokud všechny tři strany nejsou stejné.
Rovnoramenný trojúhelník je takový, ve kterém jsou dvě strany stejné. Tyto strany se nazývají boční , třetí strana se nazývá základna . V rovnoramenném trojúhelníku jsou úhly na základně stejné.
Nazývá se rovnostranný nebo pravoúhlý trojúhelník, ve kterém jsou všechny tři strany stejné. V rovnostranném trojúhelníku jsou všechny úhly rovné 60° a středy kružnice vepsané a opsané se shodují . Rovnostranný trojúhelník je speciální případ rovnoramenného trojúhelníku.

Mediány, výšky, osy

Medián trojúhelníku nakresleného z daného vrcholu je segment spojující tento vrchol se středem protější strany (základna mediánu). Všechny tři mediány trojúhelníku se protínají v jednom bodě. Tento průsečík se nazývá těžiště nebo těžiště trojúhelníku. Poslední název je způsoben tím, že trojúhelník vyrobený z homogenního materiálu má těžiště v průsečíku střednic. Těžiště dělí každý medián 1:2 od základny mediánu. Trojúhelník s vrcholy ve středních bodech mediánů se nazývá střední trojúhelník . Základny mediánů daného trojúhelníku tvoří tzv. komplementární trojúhelník . Délku mediánusníženou na stranulze zjistit podle vzorců: $m_{c},$ $c,$

m_{c}={1 \over 2}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}={1 \over 2}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \gamma }};

podobně pro ostatní mediány.

Výška v trojúhelníkech různých typů
Výšky se protínají v ortocentru

Výška trojúhelníku nakresleného z daného vrcholu se nazývá kolmice svržená z tohoto vrcholu na opačnou stranu nebo její pokračování. Tři výšky trojúhelníku se protínají v jednom bodě, který se nazývá ortocentrum trojúhelníku. Trojúhelník s vrcholy na základnách výšek se nazývá ortotrojúhelník .

Délku výšky snížené na stranu lze zjistit podle vzorců: $h_{c}$ $C$

h_{c}=b\sin \alpha =a\sin \beta =c\,{\frac {\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )))

; podobné pro jiné výšky.

Délky výšek se snižovaly do stran. lze nalézt také pomocí vzorců: [3] :str.64

h_{c}={\frac {ab}{2R)),\quad h_{a}={\frac {bc}{2R)),\quad h_{b}={\frac {ca} {2R}}

Osa ( bisector ) trojúhelníku nakresleného z daného vrcholu je úsečka spojující tento vrchol s bodem na opačné straně a rozdělující úhel v daném vrcholu na polovinu. Osy trojúhelníku se protínají v jednom bodě a tento bod je stejný jako střed vepsané kružnice ( incenter ).

Pokud je trojúhelník zmenšený (nikoli rovnoramenný), pak osa nakreslená z kteréhokoli z jeho vrcholů leží mezi mediánem a výškou nakreslenou ze stejného vrcholu. Další důležitá vlastnost osy: rozděluje protilehlou stranu na části úměrné stranám k ní přiléhajícím [4] .

Délku ose snížené na stranu lze zjistit jedním ze vzorců: $l_{c}$ $C$

l_{c}={\frac {\sqrt {ab(a+b+c)(a+bc)}}{a+b}}={\frac {2{\sqrt {abp(pc) }}}{a+b}}

, kde je semiperimetr .

p

l_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}={\frac {c\,\sin \alpha \cdot \sin \ beta }{\sin(\alpha +\beta )\cdot \cos {\frac {\alpha -\beta }{2))))

l_{c}={\frac {h_{c)){\cos {\frac {\alpha -\beta }{2))))

; tady je výška.

h_{c}

Výška, medián a půlka rovnoramenného trojúhelníku, sníženého k základně, jsou stejné. Platí to i naopak: jsou-li osa, medián a výška nakreslené z jednoho vrcholu stejné, pak je trojúhelník rovnoramenný.

Opsané a vepsané kružnice

Kružnice opsaná (viz obrázek vpravo) je kružnice procházející všemi třemi vrcholy trojúhelníku. Kružnice opsaná je vždy jedinečná, její střed se shoduje s průsečíkem kolmiček ke stranám trojúhelníku, vedených přes středy stran. V tupoúhlém trojúhelníku tento střed leží mimo trojúhelník [4] .

Vepsaná kružnice (viz obrázek vpravo) je kružnice tečnou ke všem třem stranám trojúhelníku. Ona je jediná. Střed vepsané kružnice se nazývá incenter , shoduje se s průsečíkem os trojúhelníku.

Následující vzorce umožňují vypočítat poloměry opsané a vepsané kružnice. $R$ $r$

r={S \over p},

kde je obsah trojúhelníku a je jeho půlobvod .

S

p

{\displaystyle r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}{4(a+b+c)))))

R={\frac {a}{2\sin \alpha }}={\frac {b}{2\sin \beta }}={\frac {c}{2\sin \gamma }}

R={\frac {abc}{4S}}={\frac {abc}{4{\sqrt {p(pa)(pb)(pc))))))

{\frac {1}{r}}={\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_ {C}}}

kde jsou poloměry odpovídajících kružnic ${\displaystyle r_{a},r_{b},r_{c))$

Další dva užitečné poměry:

{\frac {r}{R}}={\frac {4S^{2}}{pabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;

[5]

2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}

Existuje také Carnotův vzorec [6] :

R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={\frac {1}{2))(d_{A}+d_{B}+d_{C})

kde , , jsou vzdálenosti od středu kružnice opsané , respektive ke stranám , , trojúhelníku, , , jsou vzdálenosti od ortocentra , respektive k vrcholům , , trojúhelníku. ${\displaystyle k_{a))$ ${\displaystyle k_{b))$ ${\displaystyle k_{c))$ $A$ $b$ $C$ $d_{A}$ $d_{B}$ $d_{C}$ $A$ $B$ $C$

Vzdálenost od středu opsané kružnice ke straně trojúhelníku je například: $A$

k_{a}=a/(2\jméno operátora {tg} A)

;

vzdálenost od ortocentra , například, k vrcholu trojúhelníku je: $A$

d_{A}=a/\operatorname {tg} A

Značky stejných trojúhelníků

Trojúhelník na euklidovské rovině může být jednoznačně (až do kongruence ) definován následujícími trojicemi základních prvků: [7]

$A$ , , (rovnost na dvou stranách a úhel mezi nimi); $b$ $\gamma$
$A$ , , (rovnost strany a dvou sousedních úhlů); $\beta$ $\gamma$
$A$ , , (rovnost na třech stranách). $b$ $C$

Značky rovnosti pravoúhlých trojúhelníků:

podél nohy a přepony;
na dvou nohách;
podél nohy a ostrého úhlu;
přepona a ostrý úhel.

Další vlastnost: trojúhelníky jsou si rovny, pokud mají dvě strany a úhel opačný k větší z těchto stran [8] .

Ve sférické geometrii a v Lobačevského geometrii existuje znamení, že trojúhelníky jsou stejné ve třech úhlech.

Znaky podobnosti trojúhelníků

Základní vlastnosti prvků trojúhelníku

Vlastnosti rohu

V každém trojúhelníku leží větší úhel proti větší straně a naopak. Stejné úhly leží proti stejným stranám [8] .

Každý vnější úhel trojúhelníku je roven rozdílu mezi 180° a odpovídajícím vnitřním úhlem. Pro vnější úhel také platí věta o vnějším úhlu trojúhelníku : vnější úhel je roven součtu dvou dalších vnitřních úhlů, které s ním nesousedí [8] .

Trojúhelníková nerovnost

V nedegenerovaném trojúhelníku je součet délek jeho dvou stran větší než délka třetí strany, v degenerovaném je roven. Jinými slovy, délky stran nedegenerovaného trojúhelníku souvisí s následujícími nerovnostmi:

a<b+c,\quad b<c+a,\quad c<a+b

Další vlastnost: každá strana trojúhelníku je větší než rozdíl ostatních dvou stran [8] .

Věta o součtu trojúhelníku

Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je vždy 180°:

\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }

V Lobachevského geometrii je součet úhlů trojúhelníku vždy menší než 180°, zatímco na kouli je vždy větší.

Sinusová věta

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R

kde je poloměr kružnice opsané trojúhelníku. $R$

Kosinová věta

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma ,\quad b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta ,\quad a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha

Jde o zobecnění Pythagorovy věty .

Poznámka . kosinová věta se také nazývá následující dva vzorce, které lze snadno odvodit z hlavní kosinové věty (viz str. 51, f. (1.11-2)) [9] .

a^{2}=(b+c)^{2}-4bc\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2)),\quad a^{2}=(bc)^ {2}+4bc\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2))

Věta o projekci

Zdroj: [10] .

c=a\cos \beta +b\cos \alpha ,\quad a=b\cos \gamma +c\cos \beta ,\quad b=c\cos \alpha +a\cos \gamma

Věta tečny

{\frac {ab}{a+b}}={\frac {\operatorname {tg} [{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\operatorname {tg } [{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}});{\frac {bc}{b+c}}={\frac {\název operátora {tg} [{\frac { 1}{2}}(\beta -\gamma )]}{\jméno operátora {tg} [{\frac {1}{2}}(\beta +\gamma )]}});{\frac {ac }{ a+c))={\frac {\jméno operátora {tg} [{\frac {1}{2}}(\alpha -\gamma )]}{\jméno operátora {tg} [{\frac {1} {2 }}(\alpha +\gamma )]}}.

Jiný název: Regiomontanus formula .

Kotangensová věta

{\frac {pa}{\operatorname {ctg} (\alpha /2)}}={\frac {pb}{\operatorname {ctg} (\beta /2)))={\frac {pc }{\operatorname {ctg} (\gamma /2)}}=r

Mollweideovy vzorce

{\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos {\frac {AB}{2}}}{\sin {\frac {C}{2}}}},\ quad {\frac {ab}{c}}={\frac {\sin {\frac {AB}{2}}}{\cos {\frac {C}{2}}}}

Řešení trojúhelníků

Výpočet neznámých stran, úhlů a dalších charakteristik trojúhelníku ze známých se historicky nazýval „ řešení trojúhelníků “. To využívá výše uvedené obecné trigonometrické věty, stejně jako známky rovnosti a podobnosti trojúhelníků .

Oblast trojúhelníku

Dále použijeme notaci

$\ h_{a},h_{b},h_{c}$ - výšky vytažené do stran , $\ a,b,c$
$\m$ - medián od vrcholu úhlu se stranami $\a,b,$
$p={\frac {a+b+c}{2}}$ - poloobvod,
$\ p_{m}={\frac {a+b+2m}{2))$ ,
$\r$ je poloměr vepsané kružnice ,
${\displaystyle \ r_{a},r_{b},r_{c))$ jsou poloměry kružnice tečné ke stranám , $\ a,b,c$
${\displaystyle \ r_{a},r_{b},r_{c))$
$\R$ je poloměr kružnice opsané .

Oblast trojúhelníku souvisí s jeho hlavními prvky pomocí následujících vztahů.

$S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}bh_{b}$
$S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma$
$S_{\triangle ABC}={\frac {abc}{4R))$
$S_{\triangle ABC}={\sqrt {p(pa)(pb)(pc)}}={1 \over 4}{\sqrt {(a+b+c)(b+ca)(a+cb )(a+bc)}}$ - Heronův vzorec
${\displaystyle S_{\triangle ABC}=(pb)r_{b))$ [jedenáct]
$S_{\triangle ABC}={\sqrt {p_{m}(p_{m}-a)(p_{m}-b)(p_{m}-2m)))$

${\displaystyle S={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c))))$ [12]
$S_{\triangle ABC}={2R^{2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }$
$S_{\triangle ABC}={\frac {c^{2}}{2(\operatorname {ctg} \alpha +\operatorname {ctg} \beta )))$
$S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}({\overrightarrow {CA}}\wedge {\overrightarrow {CB}})={\frac {1}{2}}( x_{A}-x_{C})(y_{B}-y_{C})-{\frac {1}{2}}(x_{B}-x_{C})(y_{A}-y_ {C})$ je orientovaná oblast trojúhelníku.
$S_{\triangle ABC}={\frac {1}{\displaystyle {\sqrt {\left({\frac {1}{h_{a))}+{\frac {1}{h_{b ))}+{\frac {1}{h_{c}}}\right)\left({\frac {1}{h_{c}}}+{\frac {1}{h_{b}}} -{\frac {1}{h_{a}}}\right)\left({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\ frac {1}{h_{b}}}\right)\left({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1 }{h_{c}}}\right)}}}}}$ - viz Analogy Heronova vzorce
$S_{\triangle ABC}=r^{2}\operatorname {ctg} ({\frac {\alpha }{2)))\operatorname {ctg} ({\frac {\beta }{2)) )\operatorname {ctg} ({\frac {\gamma }{2)))$

Speciální případy

$S_{\triangle ABC}={\frac {ab}{2))$ - pro pravoúhlý trojúhelník
$S={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$ - pro rovnostranný trojúhelník

Jiné vzorce

Existují i jiné vzorce, např. [13]

S={\frac {\operatorname {tg} \alpha }{4}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})

pro roh . ${\displaystyle \alpha \neq 90^{\circ ))$

V roce 1885 navrhl Baker [14] seznam více než stovky vzorců pro oblast trojúhelníku. Zahrnuje zejména:

{\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{abch_{a}h_{b}h_{c))))

S={\frac {1}{2}}{\sqrt {abh_{a}h_{b}}}

S={\frac {a+b}{2(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1})))

S={\frac {Rh_{b}h_{c}}{a}}

Nerovnice pro oblast trojúhelníku

Pro oblast platí následující nerovnosti:

${\sqrt {27}}r^{2}\leqslant S\leqslant {\frac {\sqrt {27}}{4}}R^{2}$ a je dosaženo obou rovností.
$S\leqslant {\frac {1}{4}}(a^{2}+b^{2})$ , kde je dosaženo rovnosti pro rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník.
Oblast trojúhelníku s obvodem menším nebo rovným . Rovnosti je dosaženo právě tehdy, když je trojúhelník rovnostranný ( pravidelný trojúhelník ) [15] [16] :657 . $p$ $p^{2}/(12{\sqrt {3)))$
Další hranice pro oblast jsou dány vzorci [17] :str.290 $S$

4{\sqrt {3}}S\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}

a ,

4{\sqrt {3}}S\leqslant {\frac {9abc}{a+b+c}}

kde je v obou případech rovnosti dosaženo právě tehdy, je-li trojúhelník rovnostranný (pravidelný).

Historie studia

Vlastnosti trojúhelníku studovaného ve škole jsou až na vzácné výjimky známy již od raného starověku. Počátky trigonometrických znalostí lze nalézt v matematických rukopisech starověkého Egypta , Babylonu a staré Číny . Hlavním úspěchem tohoto období byl poměr, který později dostal název Pythagorova věta ; Van der Waerden se domnívá, že jej objevili Babyloňané v letech 2000 až 1786 před naším letopočtem. E. [osmnáct]

Obecná a poměrně úplná teorie geometrie trojúhelníků (plochých i sférických ) se objevila ve starověkém Řecku [19] . Zejména ve druhé knize „ Začátky “ je Euklidova věta 12 slovní obdobou kosinové věty pro tupé trojúhelníky [20] . Následující věta 13 je variantou kosinové věty pro ostroúhlé trojúhelníky . Vlastnosti prvků trojúhelníků (úhly, strany, osy atd.) po Euklidovi se zabývali Archimedes , Menelaos , Claudius Ptolemaios , Pappus z Alexandrie [21] .

Ve čtvrtém století, po úpadku starověké vědy, se centrum rozvoje matematiky přesunulo do Indie. Spisy indických matematiků ( siddhantas ) ukazují, že jejich autoři dobře znali díla řeckých astronomů a geometrů [22] . Indiáni se o čistou geometrii nezajímali, ale jejich přínos k aplikované astronomii a výpočetním aspektům trigonometrie je velmi významný.

V 8. století se vědci ze zemí Blízkého a Středního východu seznamovali s díly starověkých řeckých a indických matematiků a astronomů. Jejich astronomická pojednání, analogická s indickými siddhanty, se nazývala „ ziji “; typickým zij byla sbírka astronomických a trigonometrických tabulek, opatřená návodem na jejich použití a (ne vždy) shrnutím obecné teorie [23] . Srovnání zijs z období 8.-13. století ukazuje rychlý vývoj trigonometrických znalostí. Nejstarší dochovaná díla patří al-Khwarizmi a al-Marvazi (9. století).

Thabit ibn Qurra (9. století) a al-Battani (10. století) jako první objevili základní sinusovou větu pro speciální případ pravoúhlého sférického trojúhelníku . Pro libovolný sférický trojúhelník byl důkaz nalezen (různými způsoby a pravděpodobně nezávisle na sobě) Abu-l-Vafa , al-Khujandi a ibn Iraq na konci 10. století [24] . V dalším pojednání ibn Iraq formuloval a dokázal větu sinus pro plochý trojúhelník [25] .

Základní představení trigonometrie (ploché i sférické) podal perský matematik a astronom Nasir ad-Din at-Tusi v roce 1260 [26] . Jeho „Pojednání o úplném kvadripartitu“ obsahuje praktické metody řešení typických problémů, včetně těch nejobtížnějších, které řešil sám at-Tusi [27] . Tak byly do konce 13. století objeveny základní věty nutné pro praktickou práci s trojúhelníky.

V Evropě, vývoj trigonometrické teorie stal se extrémně důležitý v moderní době, primárně pro dělostřelectvo , optiku a navigaci na dálkových námořních cestách. V roce 1551 se objevily 15místné trigonometrické tabulky Rhetica , Koperníkova studenta , s krokem 10“ [28] . Potřeba složitých trigonometrických výpočtů způsobila objev logaritmů na počátku 17. století a první logaritmické tabulky Johna Napiera obsahovaly pouze logaritmy goniometrických funkcí.

Studium trojúhelníku pokračovalo i v 17. století: byla prokázána Desarguesova věta (1636), objeven Torricelliho bod (1640) a byly studovány jeho vlastnosti. Giovanni Ceva dokázal svou příčnou větu (1678). Leibniz ukázal, jak vypočítat vzdálenost od těžiště trojúhelníku k jeho dalším pozoruhodným bodům [21] . V 18. století byla objevena Eulerova linie a kružnice šesti bodů (1765).

Na počátku 19. století byl objeven Gergonnův bod . V roce 1828 byla prokázána Feuerbachova věta . Do konce 19. století patří dílo Emila Lemoina , Henriho Brocarda , Josepha Neuberga . Kruh devíti bodů byl zkoumán Ponceletem , Brianchonem a Steinerem.Byly objeveny dříve neznámé geometrické vztahy a obrazy - např. Brocardův kruh , Steinerovy a Tarryho body . V roce 1860 Schlömilch dokázal větu: tři čáry spojující středy stran trojúhelníku se středy jeho příslušných výšek se protínají v jednom bodě. V roce 1937 sovětský matematik S. I. Zetel ukázal, že tato věta platí nejen pro výšky, ale i pro jakékoli jiné ceviany . Studie výše uvedených geometrů změnily geometrii trojúhelníku na samostatnou větev matematiky [29] .

Významný příspěvek ke geometrii trojúhelníku přinesl koncem 19. a začátkem 20. století Frank Morley . Dokázal, že těžiště středů kardioidy vepsaných do trojúhelníku sestává z devíti přímek, které jsou po třech rovnoběžné se třemi stranami rovnostranného trojúhelníku. Navíc 27 bodů, ve kterých se těchto devět čar protíná, jsou průsečíky dvou trisektorů trojúhelníku, které patří stejné straně trojúhelníku. Nejznámější je speciální případ této věty: vnitřní trisektory úhlů trojúhelníku sousedícího se stejnou stranou se po dvojicích protínají ve třech vrcholech rovnostranného trojúhelníku. Zobecnění těchto prací publikoval Henri Lebesgue (1940), zavedl -sektory trojúhelníku a studoval jejich umístění v obecné formě [30] . $n$

Od 30. let 19. století se trilineární bodové souřadnice staly široce používanými v geometrii trojúhelníku . Aktivně se rozvíjela teorie transformací - projektivní , izogonální , izotomické a další. Myšlenka zvážit problémy teorie trojúhelníků na komplexní rovině se ukázala jako užitečná . [29] .

Další informace

Všechna fakta v této sekci odkazují na euklidovskou geometrii .

Úsečka spojující vrchol s bodem na opačné straně se nazývá ceviana . Obvykle se cevian nechápe jako jeden takový segment, ale jako jeden ze tří takových segmentů nakreslených ze tří různých vrcholů trojúhelníku a protínajících se v jednom bodě . Splňují podmínky Cevovy věty . Cevians spojující vrchol trojúhelníku s body na opačné straně, vzdálenými v daném poměru od jeho konců, se nazývají nedians . ${\frac {1}{n}}$
Středová čára trojúhelníku je úsečka, která spojuje středy dvou stran trojúhelníku. Tři střední čáry trojúhelníku jej rozdělují na čtyři stejné trojúhelníky, jejichž plocha je 4krát menší než plocha původního trojúhelníku.
Odvěsny (prostřednice) ke stranám trojúhelníku se také protínají v jednom bodě, který se shoduje se středem kružnice opsané .
Cevians ležící na liniích symetrických k mediánům s ohledem na osy se nazývají symmediány . Procházejí jedním bodem - bodem Lemoine .
Cevians ležící na liniích izotomicky konjugovaných k ose s ohledem na základny mediánů se nazývají antibisektory . Procházejí jedním bodem - středem antibisektorů .
Výložník trojúhelníku je segment, jehož jeden vrchol je uprostřed jedné ze stran trojúhelníku, druhý vrchol je na jedné ze dvou zbývajících stran, zatímco výložník rozděluje obvod na polovinu.

Některé body v trojúhelníku jsou „spárované“. Například existují dva body, ze kterých jsou všechny strany viditelné buď pod úhlem 60° nebo pod úhlem 120°. Říká se jim Torricelliho body . Existují také dva body, jejichž průměty na stranách leží ve vrcholech pravidelného trojúhelníku. Toto jsou body Apollonia . Body a podobně se nazývají Brokarovy body . $P$ $Q$ $\angle ABP=\úhel BCP=\úhel CAP$ $\angle BAP=\úhel CBP=\úhel ACP$

Některé nádherné rovné trojúhelníky

V každém trojúhelníku leží těžiště , orthocenter , střed opsané kružnice a střed Eulerovy kružnice na stejné přímce, nazývané Eulerova čára .
V každém trojúhelníku leží těžiště , střed kružnice v něm vepsané ( incentre ), jeho Nagelův bod a střed kružnice vepsané do doplňkového trojúhelníku (nebo Spiekerův střed) na stejné přímce, nazývaná druhá Eulerova linie (Nagelova linie) $A'B'C'$
Přímka procházející středem opsané kružnice a bodem Lemoine se nazývá Brocardova osa . Leží na něm Apolloniovy body .
Torricelliho body a bod Lemoine také leží na stejné přímce .
Vezmeme-li bod na kružnici opsané trojúhelníku, pak jeho průměty na strany trojúhelníku budou ležet na jedné přímce, nazývané Simsonova přímka daného bodu. Simsonovy přímky diametrálně protilehlých bodů kružnice opsané jsou kolmé.

Trilineární trojúhelníkové poláry

Trilineární polára bodu (pólu) vzhledem k nedegenerovanému trojúhelníku je přímka definovaná následující konstrukcí. Pokud budeme pokračovat ve stranách cevického trojúhelníku nějakého bodu a vezmeme jejich průsečíky s odpovídajícími stranami, pak výsledné průsečíky budou ležet na jedné přímce, nazývané trilineární polára počátečního bodu (na obrázku je znázorněna konstrukce trilineární polára červeného bodu ). $P$ $EDF$ $Y$
Trilineární polára těžiště je přímka v nekonečnu - (viz obr.)

Trilineární polární bod Lemoine je osa Lemoine (viz obr.)

Všechny tři základny , respektive tři vnější osy , a vnější úhly trojúhelníku leží na jedné přímce, která se nazývá osa vnějších os nebo antiortická osa (viz obrázek). Tato osa je také trilineární polárou středu kružnice ( incentre ). $D$ $E$ $F$ $INZERÁT$ $CE$ $BF$ $ABC$ $DEF$

Ortická osa - trilineární polára ortocentra (viz obr.) $DEF$
Trilineární poláry bodů ležících na opsané kuželosečce se protínají v jednom bodě (u opsané kružnice je to Lemoinův bod , u opsané Steinerovy elipsy je to těžiště ).

Vepsané a opsané číslice pro trojúhelník

Transformace

Níže jsou popsány 3 typy transformací: 1) Izogonální konjugace, 2) Izotomická konjugace, 3) Izokruhová transformace.

Izogonální konjugace

Pokud se přímky procházející vrcholy a nějakým bodem, který neleží po stranách, a jejich prodloužení se odrážejí vzhledem k odpovídajícím osám, pak se jejich obrazy také protnou v jednom bodě, který se nazývá izogonálně konjugovaný počáteční (pokud bod ležel na opsané kružnici, pak budou výsledné čáry rovnoběžné).
Mnoho párů pozoruhodných bodů je izogonálně konjugováno :
- Střed opsané kružnice a ortocentrum (průsečík výšek),
- Centroid (průsečík mediánů ) a Lemoinův bod (průsečík simediánů ),
- Střed devíti bodů a Kosnitův bod trojúhelníku spojeného s Kosnitovou větou [31] ;
- dva body Brocard ;
- Apolloniovy body a Torricelliho body .
Gergonnův bod a střed negativní homothety vepsané a opsané kružnice.
Nagelův bod a střed kladné homotety kružnice a kružnice opsané ( Verrierův bod ).
Opsané kružnice subdermálních trojúhelníků izogonálně konjugovaných bodů se shodují.
Ohniska vepsaných elips jsou izogonálně konjugovaná.
Izogonální konjugace má přesně čtyři pevné body (tj. body, které jsou sdružené samy se sebou): střed vepsané kružnice a středy kružnic trojúhelníku [32] .
Pokud pro jakýkoli vnitřní bod trojúhelníku sestrojíme tři body, které jsou k němu symetrické vzhledem ke stranám, a pak posledními třemi nakreslíme kružnici, pak je jeho střed izogonálně konjugovaný s počátečním bodem [33] .

Izogonální konjugace trojúhelníkových čar

Působením izogonální konjugace jdou přímky do opsaných kuželoseček a opsané kuželosečky do přímek.
Takže izogonálně konjugujte:
- Kiepertova hyperbola a Brocardova osa ,
- Enzhabekova hyperbola a Eulerova linie ,
- Feuerbachova hyperbola a linie středů vepsaných a opsaných kružnic.
Některé známé kostky - například Thomsonova kostka - jsou izogonálně samoadjungované v tom smyslu, že když jsou všechny jejich body v trojúhelníku izogonálně konjugovány, získáme opět krychle.

Izotomická konjugace

Vezmeme -li místo symetrického cevianu cevian , jehož základna je stejně daleko od středu strany jako základna původního, pak se takové cevian také protnou v jednom bodě. Výsledná transformace se nazývá izotomická konjugace . Také mapuje čáry na opsané kuželosečky .

Následující body jsou izotomicky konjugované :
- Gergonne a Nagel bod ,
- průsečík úseček ( střed ) a průsečík úseček ,
- Lemoinův bod (průsečík symmediánů) trojúhelníku je izotomicky konjugován s jeho Brocardovým bodem ,
- Centroid (průsečík mediánů) je izotomicky konjugován sám se sebou.

Při afinních transformacích přecházejí izotomicky konjugované body do izotomicky konjugovaných. S izotomickou konjugací půjde popisovaná Steinerova elipsa k přímce v nekonečnu .

Složení izogonální (nebo izotomické ) konjugace a trilineární polární

Složení izogonální (nebo izotomické ) konjugace a trilineární polární je transformací duality . To znamená, že pokud bod izogonálně ( izotomicky ) konjugovaný s bodem leží na trilineární poláre bodu , pak trilineární polára bodu izogonálně ( izotomicky ) sdružený s bodem leží na trilineární poláre bodu . $X$ $Y$ $Y$ $X$
Trilineární polára bodu izogonálně konjugovaného s bodem trojúhelníku se nazývá středová čára bodu [34] [35] . $Y$ $X$ $X$

Izokruhová transformace

Pokud jsou v úsecích odříznutých stranami trojúhelníku od opsané kružnice vepsány kružnice, které se dotýkají stran na základnách cevian protažených určitým bodem, a potom jsou styčné body těchto kružnic připojeny k opsané kružnici . kružnice s opačnými vrcholy, pak se takové čáry protnou v jednom bodě. Transformace roviny, porovnání výchozího bodu s výsledným, se nazývá izokruhová transformace [36] . Složení izogonálních a izotomických konjugací je složením izokruhové transformace se sebou samým. Tato kompozice je projektivní transformací , která ponechává strany trojúhelníku na místě a převádí osu vnějších os na přímku v nekonečnu.

Trigonometrické identity pouze s úhly

Tři kladné úhly , a , každý menší než , jsou úhly trojúhelníku právě tehdy, když platí některý z následujících vztahů: $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ $180^{\circ }$

\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \beta +\operatorname {tg} \gamma =\operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta \operatorname {tg} \gamma

( první identita pro tečny )

Poznámka . Výše uvedený vztah platí pouze tehdy, když žádný z úhlů není 90° (v takovém případě je vždy definována funkce tečny).

\operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}\operatorname {tg} {\frac {\beta }{2}}+\operatorname {tg} {\frac {\beta }{2 }}\jméno operátora {tg} {\frac {\gamma }{2}}+\jméno operátora {tg} {\frac {\gamma }{2}}\jméno operátora {tg} {\frac {\alpha }{2} }=1

, [37]

( druhá identita pro tečny )

\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma

( první identita pro sinus )

\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2))+\sin ^{2}{\frac {\beta }{2))+\sin ^{2}{\frac {\ gamma }{2))+2\sin {\frac {\alpha }{2))\sin {\frac {\beta }{2))\sin {\frac {\gamma }{2))=1

, [37]

( druhá identita pro sinus )

\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma =1

, [5]

( identita pro kosiny )

{\frac {r}{R}}=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma } {2}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1

( identita pro poměr poloměrů )

Poznámka . Při dělení obou částí druhé identity pro tangenty součinem se získá identita pro kotangens : $\operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}\operatorname {tg} {\frac {\beta }{2}}\operatorname {tg} {\frac {\gamma }{2} }$

\operatorname {ctg} {\frac {\alpha }{2}}+\operatorname {ctg} {\frac {\beta }{2}}+\operatorname {ctg} {\frac {\gamma }{ 2}}=\jméno operátora {ctg} {\frac {\alpha }{2}}\jméno operátora {ctg} {\frac {\beta }{2}}\jméno operátora {ctg} {\frac {\gamma }{2 }}

ve formě (ale ne v obsahu) velmi podobné první identitě pro tečny .

Různé poměry

Metrické poměry v trojúhelníku jsou dány pro : $\trojúhelník ABC$

${\frac {a}{b}}={\frac {a_{L}}{b_{L}}}$
$l_{c}={{\sqrt {ab(a+b+c)(a+bc)}} \over {a+b}}={\sqrt {ab-a_{L}b_{L ))}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}$
$m_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}={\frac {1 }{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \gamma }}$
$h_{c}=b\sin \alpha =a\sin \beta ={\frac {2S}{c))$
$d^{2}=R(R-2r)$ - Eulerův vzorec
${\frac {r}{R}}=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma } {2}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=4S(\operatorname {ctg} \alpha +\operatorname {ctg} \beta +\operatorname {ctg} \gamma )=2R^ {2}(3-(\cos 2\alfa +\cos 2\beta +\cos 2\gamma ))$
${\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m_{a}^{2}+m_{b}^{2} +m_{c}^{2}$ [3] :str.70

Kde:

$A$ a jsou strany trojúhelníku, $b$ $C$
$a_{L}$ , jsou segmenty , na které osa rozděluje stranu , $b_{L}$ $l_{c}$ $C$
$m_{a}$ , , jsou mediány nakreslené příslušně ke stranám a , $m_{b}$ $m_{c}$ $A$ $b$ $C$
$h_{a}$ , , jsou výšky po stranách sníženy a , $h_{b}$ $h_{c}$ $A$ $b$ $C$
$r$ je poloměr vepsané kružnice ,
$R$ je poloměr kružnice opsané ,
$p={\frac {a+b+c}{2))$ - poloobvod ,
$S$ - oblast ,
$d$ je vzdálenost mezi středy kružnice vepsané a opsané.
Pro jakýkoli trojúhelník, jehož strany jsou spojeny nerovnostmi a jehož plocha je , jsou délky středních odvěsnic nebo prostřednic uzavřených uvnitř trojúhelníku, klesajících na odpovídající stranu (označenou dolním indexem), [38] :Důsledky 5 a 6 $a\geqslant b\geqslant c$ $S$

{\displaystyle p_{a}={\frac {2aS}{a^{2}+b^{2}-c^{2))))

a . _

{\displaystyle p_{b}={\frac {2bS}{a^{2}+b^{2}-c^{2))))

{\displaystyle p_{c}={\frac {2cS}{a^{2}-b^{2}+c^{2))))

Vzorce pro oblast trojúhelníku v kartézských souřadnicích v rovině

Notový zápis

$\ (x_{A},y_{A});(x_{B},y_{B});(x_{C},y_{C})$ jsou souřadnice vrcholů trojúhelníku.

Obecný vzorec pro oblast trojúhelníku v kartézských souřadnicích v rovině

S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\\x_{C}&y_ {C}&1\end{vmatrix}}={\frac {\left|x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+ x_{C}(y_{A}-y_{B})\right|}{2}}={\frac {\left|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{ A})-(x_{C}-x_{A})(y_{B}-y_{A})\vpravo|}{2}}

Konkrétně, pokud je vrchol A v počátku (0, 0) a souřadnice dalších dvou vrcholů jsou B = ( x B , y B ) a C = ( x C , y C ) , pak může být oblast vypočteno jako 1 ⁄ 2 absolutní hodnoty determinantu

T={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{B}&x_{C}\\y_{B}&y_{C}\end{pmatrix}}\right| ={\frac {1}{2}}|x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}|.

Poslední vzorec pro oblast trojúhelníku se v anglické literatuře nazývá vzorec oblasti uzavřené v přerušené krajce natažené na hřebících ( vzorec tkaničky ), nebo geodetický vzorec (vzorec geodeta [39] ) nebo Gaussova oblast. vzorec.

Výpočet plochy trojúhelníku v prostoru pomocí vektorů

Nechť vrcholy trojúhelníku jsou v bodech , , . $\ \mathbf {r} _{A}(x_{A},y_{A},z_{A})$ $\ \mathbf {r} _{B}(x_{B},y_{B},z_{B})$ $\ \mathbf {r} _{C}(x_{C},y_{C},z_{C})$

Pojďme si představit plošný vektor . Délka tohoto vektoru se rovná ploše trojúhelníku a směřuje podél normály k rovině trojúhelníku: $\ \mathbf {S} ={\frac {1}{2}}[\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A},\mathbf {r} _{C}-\mathbf {r}_{A}]$

\mathbf {S} ={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\x_{B}-x_{A} &y_{B}-y_{A}&z_{B}-z_{A}\\x_{C}-x_{A}&y_{C}-y_{A}&z_{C}-z_{A}\end{ vmatrix}}

Nechť , kde , , jsou průměty trojúhelníku na souřadnicové roviny. V čem $\mathbf {S} =S_{x}\mathbf {i} +S_{y}\mathbf {j} +S_{z}\mathbf {k}$ $S_{x}$ ${\displaystyle S_{y))$ ${\displaystyle S_{z))$

S_{x}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}y_{B}-y_{A}&z_{B}-z_{A}\\y_{C}-y_{A} &z_{C}-z_{A}\end{vmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}1&y_{A}&z_{A}\\1&y_{B}&z_{B} \\1&y_{C}&z_{C}\end{vmatrix}}

a podobně

S_{y}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&1&z_{A}\\x_{B}&1&z_{B}\\x_{C}&1&z_{C}\ end{vmatrix}},\qquad S_{z}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\ \x_{C}&y_{C}&1\end{vmatrix}}

Plocha trojúhelníku je . $S={\sqrt {S_{x}^{2}+S_{y}^{2}+S_{z}^{2))}$

Alternativou je vypočítat délky stran (podle Pythagorovy věty ) a dále použít Heronův vzorec .

Výpočet plochy trojúhelníku pomocí komplexních kartézských souřadnic jeho vrcholů

Označíme-li komplexní kartézské souřadnice (na komplexní rovině) vrcholů trojúhelníku , a a jejich komplexně sdružené body označíme , respektive , dostaneme vzorec: $a=x_{A}+y_{A}i$ $b=x_{B}+y_{B}i$ $c=x_{C}+y_{C}i$ ${\bar {a}}$ ${\bar {b}}$ ${\bar {c}}$

T={\frac {i}{4}}{\begin{vmatrix}a&{\bar {a}}&1\\b&{\bar {b}}&1\\c&{\bar {c} }&1\end{vmatrix}}

což je ekvivalentní vzorci plochy uzavřené uvnitř přerušované čáry tkaničky natažené přes nehty ( vzorec tkaničky ), nebo geodetickému vzorci ( vzorec geodeta [39] ), nebo Gaussově plošnému vzorci.

Trojúhelník v neeuklidovských geometriích

Na kouli

Vlastnosti trojúhelníku se stranami , , a úhly , , . $A$ $b$ $C$ $A$ $B$ $C$

Součet úhlů (nedegenerovaného) trojúhelníku je přísně větší než . $180^{\circ }$

Všechny podobné trojúhelníky jsou shodné.

Sinusová věta (dále jen strana sférického trojúhelníku se obvykle neměří lineární mírou, ale hodnotou středového úhlu na ní založenou ):

{\frac {\sin A}{\sin a))={\frac {\sin B}{\sin b))={\frac {\sin C}{\sin c))

Kosinové věty:

\cos c=\cos a\cos b-\sin a\sin b\cos C

\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c

V letadle Lobačevského

Pro trojúhelník se stranami , , a úhly , , . $A$ $b$ $C$ $A$ $B$ $C$

Součet úhlů (nedegenerovaného) trojúhelníku je přísně menší než . $180^{\circ }$

Stejně jako na kouli jsou všechny podobné trojúhelníky shodné.

Sinusová věta

{\frac {\sin A}{\operatorname {sh} a}}={\frac {\sin B}{\operatorname {sh} b}}={\frac {\sin C}{\operatorname {sh}c}}

Kosinové věty

\operatorname {ch} c=\operatorname {ch} a\operatorname {ch} b-\operatorname {sh} a\operatorname {sh} b\cos C

\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\název operátora {ch} c

Vztah mezi součtem úhlů a plochou trojúhelníku

Hodnota součtu úhlů trojúhelníku ve všech třech případech (euklidovská rovina, koule, Lobačevského rovina) je důsledkem Gauss-Bonnetova vzorce

\int \limits _{\Omega }K\,d\sigma +\sum _{i}\varphi _{i}=2\pi \chi

V případě trojúhelníku je Eulerova charakteristika . Rohy jsou vnější rohy trojúhelníku. Hodnota veličiny (Gaussova křivost) je pro euklidovskou geometrii, pro kouli, pro Lobačevského rovinu. $\chi =1$ $\varphi _{i}$ $K$ $K=0$ $K=1$ $K=-1$

Trojúhelník v Riemannově geometrii

Označení

Symbol	Unicode	název
△	U+25B3	bílý trojúhelník směřující nahoru

Viz také

Další články o geometrii trojúhelníku naleznete v kategoriích:

Kategorie:Geometrie trojúhelníku .
Kategorie:Věty o euklidovské geometrii
Kategorie:Planimetrie
Kategorie:Věty z planimetrie

Poznámky

↑ Trojúhelník // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích). - M . : Sovětská encyklopedie , 1985. - T. 5.
↑ 1 2 Příručka elementární matematiky, 1978 , str. 218.
↑ 1 2 Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover, 2007.
↑ 1 2 Příručka elementární matematiky, 1978 , str. 221.
↑ 1 2 Longuet-Higgins, Michael S., "O poměru inradiusu k cirkumradiusu trojúhelníku", Mathematical Gazette 87, březen 2003, 119-120.
↑ Zetel S.I. Nová trojúhelníková geometrie. Průvodce pro učitele. 2. vydání. M.: Uchpedgiz, 1962. problém na str. 120-125. odstavec 57, s.73.
↑ Geometrie podle Kiselyova Archivováno 1. března 2021 na Wayback Machine , § 41.
↑ 1 2 3 4 Příručka elementární matematiky, 1978 , str. 219.
↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 .
↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , f. 1.11-4.
↑ Sa'ndor Nagydobai Kiss, „Vzdálenost Feuerbachova bodu a jeho rozšíření“, Forum Geometricorum 16, 2016, 283-290. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201634.pdf Archivováno 24. října 2018 na Wayback Machine
↑ Pathan, Alex a Tony Collyer, „Reavisited Area properties of trojúhelníks“, Mathematical Gazette 89, listopad 2005, 495-497.
↑ Mitchell, Douglas W., "The area of a quadrilateral," Mathematical Gazette 93, červenec 2009, 306-309.
↑ Baker, Marcus, "Sbírka vzorců pro oblast rovinného trojúhelníku," Annals of Mathematics , část 1 ve svazku 1 (6), leden 1885, 134-138; část 2 ve svazku 2 (1 ), září 1885, 11-18 Zde uvedené vzorce jsou #9, #39a, #39b, #42 a #49.
↑ Chakerian, GD „Zkreslený pohled na geometrii.“ Ch. 7 v Matematické švestky (R. Honsberger, redaktor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.
↑ Rosenberg, Steven; Spillane, Michael; a Wulf, Daniel B. "Heron trojúhelníky a moduli prostory", učitel matematiky 101, květen 2008, 656-663.
↑ Posamentier, Alfred S. a Lehmann, Ingmar, Tajemství trojúhelníků , Prometheus Books, 2012.
↑ van der Waerden, Bartel Leendert. Geometrie a algebra ve starověkých civilizacích . - Springer, 1983. - ISBN 3-540-12159-5 .
↑ Glazer G.I., 1982 , s. 77.
↑ Glazer G.I., 1982 , s. 94-95.
↑ 1 2 Z historie geometrie trojúhelníku, 1963 , str. 129.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , s. 40-44.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , s. 51-55.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , s. 92-96.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , s. 111.
↑ Tusi Nasiruddin . Pojednání o úplném čtyřúhelníku. Baku, Ed. AN AzSSR, 1952.
↑ Rybnikov K. A. Dějiny matematiky ve dvou svazcích. - M .: Ed. Moskevská státní univerzita, 1960. - T. I. - S. 105.
↑ Dějiny matematiky, svazek I, 1970 , str. 320.
↑ 1 2 Z historie geometrie trojúhelníku, 1963 , str. 130-132.
↑ Z historie geometrie trojúhelníku, 1963 , str. 132-133.
↑ Rigby, John (1997), Stručné poznámky k některým zapomenutým geometrickým teorémům. Mathematics and Informatics Quarterly, svazek 7, strany 156-158 (podle Kimberlinga).
↑ V. V. Prasolov. Brocardovy body a izogonální konjugace. - M. : MTsNPO, 2000. - (Knihovna "Matematická výchova"). — ISBN 5-900916-49-9 .
↑ Matematika v úlohách. Sbírka materiálů z hostujících škol moskevského týmu pro celoruskou matematickou olympiádu. Edited by A. A. Zaslavsky, D. A. Permyakov, A. B. Skopenkov, M. B. Skopenkov and A. V. Shapovalov. Moskva: MTSNMO, 2009.
↑ Kimberling, Clark. Centrální body a centrální přímky v rovině trojúhelníku // Magazín Matematika : časopis . - 1994. - Červen ( roč. 67 , č. 3 ). - S. 163-187 . - doi : 10.2307/2690608 .
↑ Kimberling, Clark. Středy trojúhelníků a střední trojúhelníky . - Winnipeg, Kanada: Utilitas Mathematica Publishing, Inc., 1998. - s. 285. Archivováno 10. března 2016 na Wayback Machine
↑ Myakishev A.G. Prvky trojúhelníkové geometrie (Řada: "Knihovna" Mathematical Education "") M.: MTSNMO, 2002. s. 14-17
↑ 1 2 Vardan Verdiyan & Daniel Campos Salas, „Jednoduché trigonometrické substituce s širokými výsledky“, Mathematical Reflections č. 6, 2007.
↑ Mitchell, Douglas W. (2013), "Perpendicular Bsectors of Triangle Sides", Forum Geometricorum 13, 53-59.
↑ 1 2 Bart Braden. Vzorec Surveyor's Area // The College Mathematics Journal :časopis. - 1986. - Sv. 17 , č. 4 . - str. 326-337 . - doi : 10.2307/2686282 . Archivováno z originálu 6. dubna 2015.

Literatura

Hadamard J. Elementární geometrie. Část 1: Planimetrie. Ed. 4., Moskva: Uchpedgiz, 1957. 608 s.
Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky. — M .: Nauka, 1978.
- Reedice: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 s.
Efremov Dm. Nová trojúhelníková geometrie . Oděsa, 1902.
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementary Mathematics. Opakujte kurz. - Třetí vydání, stereotypní. — M .: Nauka, 1976. — 591 s.
Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Nová setkání s geometrií. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Knihovna matematického kroužku).
Korn G., Korn T. Příručka matematiky (pro výzkumníky a inženýry) . - M .: Nauka, 1973. - 720 s.
Myakishev A.G. Prvky geometrie trojúhelníku . — M. : MTsNMO, 2002.
Ponarin Ya. P. Elementární geometrie. Ve 2 svazcích - M . : MTSNMO , 2004. - S. 48-50. — ISBN 5-94057-170-0 .

Příběh

Gaiduk Yu. M., Khovansky AM Z historie geometrie trojúhelníku // Otázky historie fyzikálních a matematických věd. - M . : Vyšší škola, 1963. - S. 129-133. — 524 s.
Glazer G.I. Historie matematiky ve škole. třídy VII-VIII. Průvodce pro učitele. - M . : Vzdělávání, 1982. - S. 76-95. — 240 s.
Dějiny matematiky, editoval A. P. Juškevič ve třech svazcích, M .: Nauka.
- Historie matematiky. Od starověku do počátku New Age // Historie matematiky / Editoval A.P. Juškevič , ve třech svazcích. - M .: Nauka, 1970. - T.I.
- Matematika 17. století // Historie matematiky / Editoval A.P. Juškevič , ve třech svazcích. - M. : Nauka, 1970. - T. II.
- Matematika 18. století // Historie matematiky / Editoval A.P. Juškevič , ve třech svazcích. - M .: Nauka, 1972. - T. III.
Matvievskaya G.P. Eseje o historii trigonometrie: Starověké Řecko. Středověký východ. Pozdní středověk. - Ed. 2. - M. : Librokom, 2012. - 160 s. - (Fyzikálně-matematické dědictví: matematika (dějiny matematiky)). — ISBN 978-5-397-02777-9 .

Odkazy

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Velká Katalánština Skvělý norský Velký Rus Brockhaus a Efron Malý Brockhaus a Efron Britannica (online)
V bibliografických katalozích	BNF : 11946969k J9U : 987007548775205171 LCCN : sh85137407 NKC : ph126753

Trojúhelník
Typy trojúhelníků	Obdélníkový Rovnoramenné Rovnostranný Rovnoramenné obdélníkové
Nádherné linie v trojúhelníku	Medián Výška Bisector Středověký střední čára Opsané a vepsané kružnice Simsonova přímka Eulerova linie Simediana Cheviana
Pozoruhodné body trojúhelníku	Ortocentrum Centroid Střed Brocard bod Vecten bod Bod Gergonne Lemoine bod Miquel bod Nagelův bod Napoleon body Body Torricelliho Devítibodový střed kruhu Spiekerovo centrum Encyklopedie trojúhelníkových center
Základní věty	trojúhelníková nerovnost Znaky podobnosti trojúhelníků Řešení trojúhelníků Věta o vnějším úhlu trojúhelníku Věta o součtu úhlů o trojúhelníku Pythagorova věta Kosinová věta Sinusová věta Projekční teorém Heronův vzorec
Dodatečné věty	Van Obelova věta Meneláův teorém Reuschleova (Terkemova) věta Stewartova věta Věta tečny Kotangensová věta Cevova věta Mollweideovy vzorce
Zobecnění	sférický trojúhelník hyperbolický trojúhelník Simplexní

Polygony

Podle počtu stran

Monogon
Bigon
Trojúhelník
Čtyřúhelník
Pentagon
Šestiúhelník
Sedmiúhelník
Osmiúhelník
Pentagon
Desetiúhelník
Hendecagon
dvanáctiúhelník
Třináct
čtyřúhelník
Pentagon
Šestiúhelník
Sedmnáct
osmiúhelník
Devatenáctiúhelník
dvanáctiúhelník
jednadvacetistranný
Dvacet dva úhlů
Twentytrigon
Dvacet čtyřúhelníkové
Dvacet pětiúhelník
Dvacet osmiúhelník
Trojúhelník
Thirty-Biagon
čtyřicet čtverečních
Čtyřicet dvouúhelník
letniční
letniční
Hexagon
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ en
Millagon
Deset tisíc gon
Stotisícina
Miliogon
nekonečno

opravit

konvexní	Trojúhelník Náměstí Pentagon Šestiúhelník Sedmiúhelník Osmiúhelník Pentagon čtyřúhelník Sedmnáct 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
hvězdicový	Pentagram Hexagram Heptagram Oktagram ( Star of Lakshmi ) Enneagram Dekagram Endekagram dodekagram

trojúhelníky

Čtyřúhelníky

viz také