Boromejské prsteny

Boromejské prsteny
Notový zápis
Conway [.jeden]
Alexander-Briggs 6 3 2
Polynomy
Jones   [jeden]
Invarianty
Délka copu 6
Počet vláken 3
Počet křižovatek 6
Hyperbolický objem 7,327724753
Počet segmentů 9
Rozvázat číslo 2
Vlastnosti
Alternativní odkaz , hyperbolický
 Mediální soubory na Wikimedia Commons

Boromejské kruhy [2]  jsou spojnicí skládající se ze tří topologických kruhů , které jsou propojeny a tvoří brunnské spojení (to znamená, že odstranění jakéhokoli prstence povede k oddělení dvou zbývajících prstenců). Jinými slovy, žádné dva ze tří kruhů nejsou spojeny, jako u Hopfova odkazu , přesto jsou všechny spojeny dohromady.

Matematické vlastnosti

Přes zdánlivou přirozenost boromejských prstenů z vyobrazení je nemožné vytvořit takové spojení z geometricky ideálních kruhů [3] . To lze také vidět zvažováním uzlového diagramu : pokud předpokládáme, že kružnice 1 a 2 jsou tečné ve dvou průsečíkech, pak leží buď ve stejné rovině, nebo na kouli. V obou případech musí třetí kružnice tuto rovinu nebo kouli protínat ve čtyřech bodech a nesmí na ní ležet, což je nemožné [4] .

Přitom lze takové zapojení provést pomocí elips a excentricita těchto elips může být libovolně malá. Z tohoto důvodu lze jako boromejské prsteny použít tenké kroužky z ohebného drátu.

Zasnoubení

V teorii uzlů jsou boromejské prsteny nejjednodušším příkladem brunnského spojení - ačkoli žádný pár prstenců není spojen , nelze je rozpojit.

Nejjednodušším způsobem, jak to dokázat, je uvažovat o základní skupině doplňku dvou nespojených kruhů; podle Seifert-van Kampenovy věty se jedná o volnou grupu se dvěma generátory, a a b, a pak třetí cyklus odpovídá třídě komutátoru , [ a , b ] = aba −1 b −1 , kterou lze vidět z schéma spojení. Tento komutátor je v základní skupině netriviální, a proto jsou boromejské kruhy spojené.

V aritmetické topologii existuje analogie mezi uzly a prvočísly , která umožňuje sledovat vztahy prvočísel. Trojice prvočísel (13, 61, 937) je spojena modulo 2 (jeho symbol Rhedei je roven −1), ale tato čísla jsou párově nesouvisející modulo 2 (všechny Legendreovy symboly jsou rovny 1). Taková prvočísla se nazývají „pravidelné boromejské trojnásobky modulo 2“ [5] nebo „jednoduché boromejské modulo 2“. [6]

Hyperbolická geometrie

Boromejské prstence jsou příkladem hyperbolické vazby  — doplněk boromejských prstenců ve 3-kouli připouští kompletní hyperbolickou metriku s konečným objemem. Kanonická expanze (Epstein-Penner) doplňku se skládá ze dvou pravidelných oktaedrů . Hyperbolický objem je roven 16Л(π/4) = 7,32772…, kde Л je Lobachevského funkce . [7]

Spojení s kosami

Pokud odstřihneme boromejské prsteny, dostaneme jednu iteraci obvyklého tkaní copu . A naopak, spojíme-li konce (jedné iterace) obyčejného copu, dostaneme boromejské prsteny. Odstraněním jednoho kroužku uvolníte zbývající dva a odstraněním jedné stuhy z copu uvolníte další dva - jedná se o nejjednodušší brunský článek a brunenský cop .

Ve standardním schématu spojení jsou boromejské kruhy uspořádány v cyklickém pořadí . Pokud použijete barvy jako výše, červená bude přes zelenou, zelená nad modrou, modrá nad červenou, a když jeden z prstenů sejmete, jeden ze zbývajících bude ležet přes druhý a nebudou zapojeny. Stejné je to se šikmým: každá stuha leží nad druhou a pod třetí.

Historie

Název „boromejské prsteny“ pochází z jejich použití na erbu šlechtické boromejské rodiny v severní Itálii . Zasnoubení je mnohem starší a objevilo se jako valknut na vikingských obrazových kamenech , které pocházejí ze sedmého století.

Boromejské prsteny byly použity v různých kontextech, jako je náboženství a umění, aby ukázaly sílu jednoty. Zejména prsteny byly používány jako symbol Trojice . Je známo, že psychoanalytik Jacques Lacan našel inspiraci v boromejských prstenech jako modelu topologie lidské osobnosti, ve kterém každý prsten představuje základní složku reality ("skutečný", "imaginární" a "symbolický").

V roce 2006 se Mezinárodní matematická unie rozhodla použít logo založené na boromejských prstencích pro XXV. mezinárodní kongres matematiků v Madridu ve Španělsku [8] .

Kamenný sloup v chrámu Marundiiswarar v Chennai , Tamil Nadu , Indie , pocházející ze šestého století, obsahuje takovou postavu [9] [10] .

Částečné kroužky

Existuje mnoho vizuálních znaků pocházejících ze středověku a renesance, které se skládají ze tří prvků, které jsou vzájemně propojeny stejným způsobem jako boromejské prsteny (v jejich obecně přijímaném dvourozměrném zobrazení), ale jednotlivé prvky nepředstavují uzavřené kroužky. Příklady takových symbolů jsou rohy na kameni Snoldelev a srpky Diane de Poitiers . Příkladem odznaku se třemi různými prvky je odznak klubu Internacional . Ačkoli v menší míře, tyto symboly zahrnují gankiel a tříprvkový Vennův diagram .

Také uzel opičí pěsti je v podstatě trojrozměrnou reprezentací boromejských prstenů, ačkoli uzel má tři úrovně.

Další prsteny

Některá spojení v teorii uzlů obsahují více konfigurací boromejských prstenců. Jedna sloučenina tohoto typu, sestávající z pěti prstenů, se používá jako symbol v Discordianism , na základě obrázku z knihy Principia Discordia .

Implementace

Molekulární boromejské kruhy  jsou molekulární analogy boromejských kruhů, což jsou mechanicky spojené molekulární struktury . V roce 1997 biolog Mao Chengde (Chengde Mao) a spoluautoři z New York University úspěšně zkonstruovali prstence z DNA [11] . V roce 2003 chemik Fraser Stoddart a spoluautoři z Kalifornské univerzity použili komplexní sloučeniny k vytvoření sady prstenců z 18 komponent v jedné operaci [12] .

Kvantově mechanický analog boromejských prstenců se nazývá halo nebo Efimovův stav (existenci takových stavů předpověděl fyzik Vitalij Nikolajevič Efimov v roce 1970). V roce 2006 výzkumná skupina Rudolfa Grima a Hanse-Christopha Nägerla z Ústavu experimentální fyziky Univerzity v Innsbrucku (Rakousko) experimentálně potvrdila existenci takových stavů v ultrachladném plynu atomů cesia a publikovala objev ve vědeckém časopise Příroda [13] . Skupina fyziků vedená Randallem Huletem z Rice University v Houstonu dosáhla stejného výsledku pomocí tří vázaných atomů lithia a své poznatky publikovala v Science Express [14] . V roce 2010 získala skupina vedená K. Tanakou Efimovský stav s neutrony (neutronové halo) [15] .

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Atlas uzlů – 2005.
  2. ↑ Název vznikl podle erbu boromejského rodu , na kterém jsou tyto prsteny přítomny.
  3. ↑ Freedman-Skora, 1987 .
  4. ↑ Lindström, Zetterström, 1991 .
  5. ↑ Denis Vogel. Produkty Massey v Galoisově kohomologii číselných polí. — 13. února 2004.
  6. ↑ Masanori Morishita. Analogie mezi uzly a prvočísly, 3-rozdělovači a číselné kroužky. - 22. dubna 2009. - arXiv : 0904.3399 .
  7. ↑ William Thurston. Geometrie a topologie tří variet. - Březen 2002. - C. Ch 7. Výpočet objemu Str. 165 .
  8. ↑ ICM 2006 . Získáno 20. 5. 2015. Archivováno z originálu 3. 3. 2016.
  9. ↑ Lakshminarayan, 2007 .
  10. ↑ Blogový příspěvek od Arula Lakshminarayan
  11. ↑ Mao, Sun, Seeman, 1997 , str. 137–138.
  12. ↑ Tato práce byla publikována v Science 2004 , 304 , 1308-1312. Abstrakt Archivováno 8. prosince 2008 na Wayback Machine
  13. ↑ Kraemer, 2006 , s. 315–318.
  14. ↑ Moskowitz, 2009 .
  15. ↑ Tanaka, 2010 , str. 062701.

Literatura

Odkazy