Pravidelný mnohostěn

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 7. září 2021; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Pravidelný mnohostěn nebo platónské těleso je konvexní mnohostěn , který se skládá z identických pravidelných mnohoúhelníků a má prostorovou symetrii.

Definice

Mnohostěn se nazývá pravidelný , pokud:

je konvexní;
všechny jeho plochy jsou stejné pravidelné mnohoúhelníky ;
stejný počet hran se sbíhá v každém z jeho vrcholů .

Seznam pravidelných mnohostěnů

V trojrozměrném euklidovském prostoru existuje pouze pět pravidelných mnohostěnů [1] (seřazených podle počtu ploch):

pravidelný mnohostěn	Počet vrcholů	Počet hran	Počet tváří	Počet stran na obličeji	Počet hran sousedících s vrcholem	Typ prostorové symetrie
Čtyřstěn	čtyři	6	čtyři	3	3	T d
Hexaedron	osm	12	6	čtyři	3	O h
Osmistěn	6	12	osm	3	čtyři	O h
dvanáctistěn	dvacet	třicet	12	5	3	já h
dvacetistěn	12	třicet	dvacet	3	5	já h

Název každého mnohostěnu pochází z řeckého názvu pro počet jeho tváří a slova „tvář“.

Historie

Pravidelné mnohostěny jsou známy již od starověku. Jejich ornamentální vzory lze nalézt na vyřezávaných kamenných koulích z pozdního neolitu ve Skotsku , nejméně 1000 let před Platónem . V kostkách, se kterými lidé hráli na úsvitu civilizace, jsou již uhodnuty tvary pravidelných mnohostěnů.

Pravidelné mnohostěny do značné míry studovali již staří Řekové . Některé zdroje (jako Proclus Diadochus ) připisují čest jejich objevu Pythagorovi . Jiní tvrdí, že mu byly povědomé pouze čtyřstěn, krychle a dvanáctistěn, a čest objevit osmistěn a dvacetistěn patří Theaetetovi z Athén , Platónovi současníkovi. V každém případě Theaetetus podal matematický popis všech pěti pravidelných mnohostěnů a první známý důkaz, že jich je přesně pět.

Pravidelné mnohostěny jsou charakteristické pro filozofii Platóna , po kterém dostaly název „platónská tělesa“. Psal o nich Platón ve svém pojednání Timaeus (360 př. n. l.), kde každý ze čtyř živlů (země, vzduch, voda a oheň) přirovnal k určitému pravidelnému mnohostěnu. Čtyřstěn odpovídal ohni, šestistěn zemi, osmistěn vzduchu a dvacetistěn vodě. Tato přirovnání byla vysvětlena následujícími asociacemi: žár ohně je cítit jasně a ostře, jako čtyřstěnné pyramidy; nejmenší vzduchové složky osmistěnu jsou tak hladké, že je téměř necítíte; voda se vylévá, když se vezme do ruky, jako by byla vyrobena z mnoha malých kuliček, k nimž jsou nejblíže dvacetistěny; na rozdíl od vody tvoří šestistěnné kostky, zcela na rozdíl od koule, zemi, která způsobuje, že se země drolí v rukou, na rozdíl od hladkého proudění vody. Pokud jde o pátý prvek, dvanáctistěn, Platón učinil vágní poznámku: "...Bůh jej definoval pro Vesmír a uchýlil se k němu jako k modelu."

Aristoteles přidal pátý prvek, éter , a předpokládal, že nebesa jsou vyrobena z tohoto prvku, ale nesrovnával to s Platonovým pátým prvkem.

Euclid podal kompletní matematický popis pravidelných mnohostěnů v poslední, XIII knize Počátků . Tvrzení 13-17 této knihy popisují strukturu čtyřstěnu, osmistěnu, krychle, dvacetistěnu a dvanáctistěnu v tomto pořadí. Pro každý mnohostěn Euclid našel poměr průměru opsané koule k délce hrany. Tvrzení 18 říká, že neexistují žádné jiné pravidelné mnohostěny. Andreas Speiser, matematik na univerzitě v Basileji, tvrdil, že konstrukce pěti pravidelných mnohostěnů je hlavním cílem deduktivního systému geometrie, protože byl vytvořen Řeky a kanonizován v Euklidových prvcích [2] . Mnoho informací v knize XIII o živlech může pocházet ze spisů Theaeteta.

Německý astronom Johannes Kepler se v 16. století pokusil najít spojení mezi pěti tehdy známými planetami sluneční soustavy (bez Země) a pravidelnými mnohostěny. V Tajemství světa , vydaném v roce 1596, Kepler vyložil svůj model sluneční soustavy. V něm bylo pět pravidelných mnohostěnů umístěno jeden do druhého a odděleno řadou vepsaných a opsaných koulí. Každá ze šesti sfér odpovídala jedné z planet ( Merkur , Venuše , Země , Mars , Jupiter a Saturn ). Mnohostěny byly uspořádány v následujícím pořadí (od vnitřního k vnějšímu): osmistěn, následovaný dvacetistěnem, dvanáctistěnem, čtyřstěnem a nakonec krychle. Struktura sluneční soustavy a vztah vzdáleností mezi planetami byly tedy určeny pravidelnými mnohostěny. Později musel být původní Keplerov nápad opuštěn, ale výsledkem jeho pátrání byl objev dvou zákonů orbitální dynamiky - Keplerovy zákony - které změnily chod fyziky a astronomie, stejně jako pravidelné hvězdicové mnohostěny ( Kepler-Poinsotova tělesa ) .

Kombinatorické vlastnosti

Euler odvodil vzorec týkající se počtu vrcholů (B), ploch (G) a hran (P) libovolného konvexního mnohostěnu pomocí jednoduchého vztahu : C + D = P + 2.

Poměr počtu vrcholů pravidelného mnohostěnu k počtu hran jedné z jeho ploch je roven poměru počtu ploch téhož mnohostěnu k počtu hran vycházejících z jednoho z jeho vrcholů. Pro čtyřstěn je tento poměr 4:3, pro šestistěn a osmistěn je 2:1 a pro dvanáctistěn a dvacetistěn je 4:1.

Pravidelný mnohostěn lze popsat kombinatoricky pomocí Schläfliho symbolu { p , q }, kde: p je počet hran v každé ploše; q je počet hran sbíhajících se v každém vrcholu.

Schläfliho symboly pro pravidelné mnohostěny jsou uvedeny v následující tabulce:

Mnohostěn	Vrcholy	žebra	Fazety	symbol Schläfli
čtyřstěn	čtyři	6	čtyři	{3, 3}
šestistěn (krychle)	osm	12	6	{4, 3}
osmistěn	6	12	osm	{3, 4}
dvanáctistěn	dvacet	třicet	12	{5, 3}
dvacetistěn	12	třicet	dvacet	{3, 5}

Další kombinatorickou charakteristikou mnohostěnu, kterou lze vyjádřit čísly p a q , je celkový počet vrcholů (B), hran (P) a ploch (D). Protože jakákoli hrana spojuje dva vrcholy a leží mezi dvěma plochami, platí následující vztahy: $p\Gamma =2{\mbox{P}}=q{\mbox{B}}.$

Z těchto vztahů a Eulerova vzorce můžeme získat následující výrazy pro V, P a G:

{\mbox{B}}={\frac {4p}{4-(p-2)(q-2))),\quad {\mbox{P}}={\frac {2pq}{4-( p-2)(q-2))),\quad \Gamma ={\frac {4q}{4-(p-2)(q-2))).

Geometrické vlastnosti

Úhly

S každým pravidelným mnohostěnem jsou spojeny určité úhly , které charakterizují jeho vlastnosti. Dihedrální úhel mezi sousedními plochami pravidelného mnohostěnu {p, q} je dán vztahem:

$\sin {\theta \over 2}={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /p))).$

Někdy je výhodnější použít výraz přes tečnu :

\operatorname {tg}\,{\frac {\theta }{2}}={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /h))),

kde nabývá hodnot 4, 6, 6, 10 a 10 pro čtyřstěn, krychli, osmistěn, dvanáctistěn a dvacetistěn. $h$

Rohová vada ve vrcholu mnohostěnu je rozdíl mezi 2π a součtem úhlů mezi hranami každé plochy v tomto vrcholu. Defekt v libovolném vrcholu pravidelného mnohostěnu: $\delta$

\delta =2\pi -q\pi \left(1-{2 \over p}\right).

Podle Descartovy věty se rovná děleno počtem vrcholů (to znamená, že celkový defekt pro všechny vrcholy je roven ). $4\pi$ $4\pi$

Trojrozměrným analogem rovinného úhlu je prostorový úhel . Prostorový úhel Ω ve vrcholu pravidelného mnohostěnu je vyjádřen jako úhel dvoustěnu mezi sousedními plochami tohoto mnohostěnu vzorcem:

\Omega =q\theta -(q-2)\pi .

Prostorový úhel svíraný plochou pravidelného mnohostěnu s vrcholem ve středu tohoto mnohostěnu se rovná prostorovému úhlu plné koule ( steradiánu) dělenému počtem ploch. Rovná se také úhlové vadě mnohostěnu duálního k danému. $4\pi$

Různé úhly pravidelných mnohostěnů jsou uvedeny v následující tabulce. Číselné hodnoty prostorových úhlů jsou uvedeny ve steradiánech . Konstanta je zlatý řez . $\varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Mnohostěn	Dihedrální úhel θ	$\operatorname {tg}{\frac {\theta }{2}}$	Plochý úhel mezi hranami ve vrcholu	Rohová vada (δ)	Vrcholový prostorový úhel (Ω)		Prostorový úhel odečtený od plochy
čtyřstěn	70,53°	${1 \over {{\sqrt 2}}}$	60°	$\pi$	$\arccos \left({\frac {23}{27}}\right)$	$\cca 0,551286$	$\pi$
krychle	90°	jeden	90°	${\pi \over 2}$	${\frac {\pi }{2))$	$\cca 1,57080$	${2\pi \over 3}$
osmistěn	109,47°	√2	60°, 90°	${{2\pi } \over 3}$	$4\arcsin \left({1 \over 3}\right)$	$\cca 1,35935$	${\pi \over 2}$
dvanáctistěn	116,57°	$\varphi$	108°	${\pi \over 5}$	$\pi -\operatorname {arctg}\left({\frac {2}{11}}\right)$	$\cca 2,96174$	${\pi \over 3}$
dvacetistěn	138,19°	$\varphi ^{2}$	60°, 108°	${\pi \over 3}$	$2\pi -5\arcsin \left({2 \over 3}\right)$	$\cca 2,63455$	${\pi \over 5}$

Poloměry, plochy a objemy

S každým pravidelným mnohostěnem jsou spojeny tři soustředné koule:

Opsaná koule procházející vrcholy mnohostěnu;
Střední koule dotýkající se každé její hrany uprostřed;
Vepsané koule tečné ke každé z jejích ploch v jejím středu.

Poloměry opsané ( ) a vepsané ( ) koule jsou dány vzorcem: $R$ $r$

R={a \over 2}\cdot \operatorname {tg}{\frac {\pi }{q))\cdot \operatorname {tg}{\frac {\theta }{2))

r={a \over 2}\cdot \operatorname {ctg}{\frac {\pi }{p}}\cdot \operatorname {tg}{\frac {\theta }{2)),

kde θ je dihedrální úhel mezi sousedními plochami mnohostěnu. Poloměr střední koule je dán vzorcem:

\rho ={\frac {a\cos(\pi /p)}{2\sin(\pi /h))),

kde h je hodnota popsaná výše při určování dihedrálních úhlů (h = 4, 6, 6, 10 nebo 10). Poměry opsaných poloměrů k vepsaným poloměrům jsou symetrické vzhledem k p a q:

{R \over r}=\operatorname {tg}{\frac {\pi }{p}}\cdot \operatorname {tg}{\frac {\pi }{q}}.

Povrchová plocha S pravidelného mnohostěnu {p, q} se vypočítá jako plocha pravidelného p-úhelníku vynásobená počtem ploch Г:

S=\left({a \over 2}\right)^{2}\Gamma p\,\operatorname {ctg}{\frac {\pi }{p)).

Objem pravidelného mnohostěnu se vypočítá jako objem pravidelného jehlanu vynásobený počtem stěn , jehož základna je pravidelný p-úhelník a výška je poloměr vepsané koule r:

V={1\přes 3}rS.

Níže uvedená tabulka obsahuje seznam různých poloměrů, povrchových ploch a objemů pravidelných mnohostěnů. Hodnota délky hrany a v tabulce je rovna 2.

Mnohostěn ( a = 2)	Poloměr vepsané koule ( r )	Střední poloměr koule (ρ)	Poloměr opsané koule ( R )	Povrch ( S )	Hlasitost ( V )
čtyřstěn	${1 \over {{\sqrt 6}}}$	${1 \over {{\sqrt 2}}}$	${\sqrt {3 \over 2}}$	$4{\sqrt 3}$	${\frac {2{\sqrt 2}}{3}}$
krychle	$jeden$	${\sqrt {2}}$	${\sqrt {3}}$	$24$	$osm$
osmistěn	${\sqrt {2 \over 3}}$	$jeden$	${\sqrt {2}}$	$8{\sqrt 3}$	${\frac {8{\sqrt 2}}{3}}$
dvanáctistěn	${\frac {\varphi ^{2}}{\xi }}$	$\varphi ^{2}$	${\sqrt 3}\,\varphi$	$60{\frac {\varphi }{\xi }}$	$20{\frac {\varphi ^{3}}{\xi ^{2}}}$
dvacetistěn	${\frac {\varphi ^{2}}{{\sqrt 3}}}$	$\varphi$	$\xi \varphi$	$20{\sqrt 3}$	${\frac {20\varphi ^{2}}{3}}$

Konstanty φ a ξ jsou dány výrazy

\varphi =2\cos {\pi \over 5}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\qquad \xi =2\sin {\pi \over 5} ={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=5^{1/4}\varphi ^{-1/2}={\sqrt {3-\varphi } }.

Mezi pravidelnými mnohostěny představují dvanáctistěn i dvacetistěn nejlepší přiblížení ke kouli. Dvacetistěn má největší počet ploch, největší úhel vzepětí a je nejtěsněji přitlačen ke své vepsané kouli. Na druhou stranu dvanáctistěn má nejmenší úhlovou vadu, největší prostorový úhel ve vrcholu a svou opsanou kouli vyplňuje co nejvíce.

Ve vyšších dimenzích

Ve čtyřrozměrném prostoru je šest pravidelných mnohostěnů (polyedrů) :

Pětibuňkový	tesseract	Hexadecimální buňka	dvacet čtyři buňky	120 buněk	Šest set buněk

V každém z prostorů vyšších dimenzí jsou tři pravidelné mnohostěny ( polytopy ) : $n>4$

n-rozměrný pravidelný simplex
n-rozměrná hyperkrychle
n-rozměrný hyperoktaedr

Viz také

Poznámky

↑ Selivanov D. F. ,. Geometrické tělo // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.
↑ Hermann Weil. "Symetrie". Překlad z angličtiny B. V. Biryukov a Yu. A. Danilov, upravil B. A. Rosenfeld. Nakladatelství "Science". Moskva. 1968. str. 101

Odkazy

Smirnov E. Yu. Coxeter skupiny a pravidelné mnohostěny // Letní škola "Moderní matematika". — Dubna, 2008.
Weisstein, Eric W. Platonic Solids (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Fanoušci matematiky/geometrie . (Angličtina)
Papírové modely pravidelných mnohostěnů . (Angličtina)
Věda/Geometrie/Platonská a Archimedova tělesa . (Angličtina)
Platónská, Archimedova tělesa, hranoly, Kepler-Poinsotova tělesa a zkrácená Kepler-Poinsotova tělesa . (Angličtina)
M. Wenninger . modely mnohostěnů. - Moskva: Mir, 1974. - 236 s.
Gonchar VV Modely mnohostěnů . - Moskva: Akim, 1997. - 64 s. — ISBN 5-85399-032-2 .
Gonchar V. V., Gonchar D. R. Modely mnohostěnů . - Rostov na Donu: Phoenix, 2010. - 143 s. — ISBN 978-5-222-17061-8 .

Slovníky a encyklopedie	Britannica (online)
V bibliografických katalozích	GND : 4046302-3

Mnohostěn

opravit

Trojrozměrný (platónská tělesa)	pravidelný čtyřstěn Krychle Osmistěn dvanáctistěn dvacetistěn
4D	Pětibuňkový tesseract Hexadecimální buňka dvacet čtyři buňky 120 buněk Šest set buněk
Větší rozměr (uveden v závorce)	Obyčejný simplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) hyperoktaedru

Pravidelné
nekonvexní

Trojrozměrné podle počtu
tváří (uvedeno v závorkách)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
trojstěn (3)
čtyřstěn (4)
pětistěn (5)
šestistěn (6)
Heptahedron (7)
osmistěn (8)
Enneahedron (9)
Decahedron (10)
Endecahedron (11)
dvanáctistěn (12)
Tridecahedron (13)
Tetradecahedron (14)
Pentadecahedron (15)
šestistěn (16)
Heptadecahedron (17)
Octadecahedron (18)
Enneadecahedron (19)
dvacetistěn (20)
Icosotetrahedron (24)
triakontahedr (30)
Hexacontahedron (60)
Enneacontahedron (90)
Hektotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

konvexní

Archimédova tělesa

Katalánská těla

Hranoly
trojboký hranol čtyřboký hranol Pětiboký hranol Šestihranný hranol Sedmiboký hranol Osmiboký hranol Devítiúhlý hranol Dekagonální hranol Jedenáctiúhlý hranol Dvanáctiúhelníkový hranol

Johnson mnohostěn

Vzorce ,
věty ,
teorie

jiný