Čtyřstěn

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 5. prosince 2019; kontroly vyžadují 36 úprav .

Čtyřstěn ( starořecky τετρά - εδρον " čtyřstěn " [1] ← τέσσᾰρες / τέσσερες / τέττᾰρες / τέττοseatρ,εδδρες / τέττορες / τέτο , εἕδρες , které jsou základny

Čtyřstěn je trojúhelníková pyramida , když se za základ bere jakákoliv z tváří. Čtyřstěn má 4 plochy, 4 vrcholy a 6 hran. Čtyřstěn, ve kterém jsou všechny plochy rovnostranné trojúhelníky , se nazývá pravidelný. Pravidelný čtyřstěn je jedním z pěti pravidelných mnohostěnů .

Vlastnosti

Paralelní roviny procházející třemi páry křížících se hran čtyřstěnu určují rovnoběžnostěn popsaný v blízkosti čtyřstěnu .

Rovina procházející středy dvou křížících se hran čtyřstěnu jej rozděluje na dvě části se stejným objemem [3] :216-217 .

Bimediány čtyřstěnu se protínají ve stejném bodě jako střednice čtyřstěnu.
- Bimediány čtyřstěnu jsou segmenty spojující středy jeho křížících se hran (které nemají společné vrcholy).

Středy koulí, které procházejí třemi vrcholy a středem , leží na kouli, jejíž střed se shoduje se středem opsané koule.
- Toto tvrzení platí i pro externí centra.

Roviny, které procházejí středem hrany a jsou kolmé k protější hraně, se protínají v jednom bodě (ortocentru).
- Ortocentrum v simplexu je definováno jako průsečík nadrovin, které jsou kolmé k hraně a procházejí těžištěm protilehlého prvku.

Střed koule (F), který prochází těžištěmi ploch čtyřstěnu, těžiště čtyřstěnu (M), střed opsané koule (R) a ortocentrum (H) leží na stejné přímce. Ve stejnou dobu . $RM=MH=3\cdot MF$

Střed koule (S) vepsaný do komplementárního čtyřstěnu, střed koule (N) vepsaný do antikomplementárního čtyřstěnu, těžiště čtyřstěnu (M) a střed vepsané koule (I) leží na stejná přímka.

Nechť bod G 1 rozděluje úsek spojující ortocentrum (H) a vrchol 1 v poměru 1:2. Pusťme kolmici z bodu G 1 na plochu protějšího vrcholu 1. Kolmice protíná plochu v bodě W 1 . Body G 1 a W 1 leží na kouli (Feuerbachově kouli), která prochází těžišti stěn čtyřstěnu.

Řez rovinou procházející středy čtyř hran čtyřstěnu je rovnoběžník.

Typy čtyřstěnů

Izoedrický čtyřstěn

Všechny jeho plochy jsou navzájem rovné trojúhelníky. Vývoj izoedrického čtyřstěnu je trojúhelník rozdělený třemi středními čarami na čtyři stejné trojúhelníky . V izoedrickém čtyřstěnu leží základny výšek, středy výšek a průsečíky výšek ploch na povrchu jedné koule (koule o 12 bodech) (analoga Eulerovy kružnice pro trojúhelník ).

Vlastnosti izoedrického čtyřstěnu:

Všechny jeho plochy jsou stejné (shodné).
Křížící se hrany jsou ve dvojicích stejné.
Trojstěnné úhly jsou stejné.
Opačné úhly vzepětí jsou stejné.
Dva rovinné úhly založené na stejné hraně jsou stejné.
Součet rovinných úhlů v každém vrcholu je 180°.
Vývoj čtyřstěnu je trojúhelník nebo rovnoběžník .
Popsaný rovnoběžnostěn je obdélníkový.
Čtyřstěn má tři osy symetrie.
Společné kolmice šikmých hran jsou párově kolmé.
Středové čáry jsou párově kolmé.
Obvody tváří jsou stejné.
Plochy tváří jsou stejné.
Výšky čtyřstěnu jsou stejné.
Segmenty spojující vrcholy s těžišti protilehlých ploch jsou stejné.
Poloměry kružnic popsaných v blízkosti ploch jsou stejné.
Těžiště čtyřstěnu se shoduje se středem opsané koule.
Těžiště se shoduje se středem vepsané koule.
Střed opsané koule se shoduje se středem vepsané koule.
Vepsaná koule se dotýká ploch ve středech kružnic opsaných kolem těchto ploch.
Součet normál vnějších jednotek (jednotkových vektorů kolmých k plochám) je nula.
Součet všech dihedrálních úhlů je nulový.
Středy opsaných koulí leží na opsané kouli.

Ortocentrický čtyřstěn

Všechny výšky pokleslé z vrcholů na opačné plochy se protínají v jednom bodě.

Výšky čtyřstěnu se protínají v jednom bodě.
Základy výšek čtyřstěnu jsou ortocentry tváří.
Každé dva protilehlé okraje čtyřstěnu jsou kolmé.
Součty čtverců protilehlých hran čtyřstěnu jsou stejné.
Segmenty spojující středy protilehlých hran čtyřstěnu jsou stejné.
Součin kosinus opačných dihedrálních úhlů se rovnají.
Součet čtverců ploch ploch je čtyřikrát menší než součet čtverců součinů protilehlých hran.
Čtyřstěn ortocentrického kruhu má 9 bodů ( Eulerovy kruhy ) každé plochy patřící do stejné koule (koule s 24 body).
V ortocentrickém čtyřstěnu jsou těžiště a průsečíky výšek ploch, jakož i body rozdělující segmenty každé výšky čtyřstěnu od vrcholu k průsečíku výšek v poměru 2 :1, leží na stejné kouli (koule 12 bodů).

Obdélníkový čtyřstěn

Všechny hrany sousedící s jedním z vrcholů jsou na sebe kolmé. Obdélníkový čtyřstěn se získá odříznutím čtyřstěnu rovinou z obdélníkového rovnoběžnostěnu .

Kostra čtyřstěn

Je to čtyřstěn, který splňuje kteroukoli z následujících podmínek [4] :

je tu koule dotýkající se všech hran,
součty délek křížících se hran jsou stejné,
součty dihedrálních úhlů na opačných hranách jsou stejné,
kruhy vepsané do tváří se dotýkají ve dvojicích,
všechny čtyřúhelníky vyplývající z vývoje čtyřstěnu jsou opsány,
kolmice vztyčené k plochám ze středů do nich vepsaných kružnic se protínají v jednom bodě.

Přiměřený čtyřstěn

Tento typ má stejné výšky .

Vlastnosti úměrného čtyřstěnu:

Dvojité výšky jsou stejné. Dvojité výšky čtyřstěnu jsou společné kolmice ke dvěma jeho protínajícím se hranám (hranám, které nemají společné vrcholy).
Projekce čtyřstěnu na rovinu kolmou k nějakému bimediánu je kosočtverec . Bimediány čtyřstěnu jsou segmenty spojující středy jeho křížících se hran (které nemají společné vrcholy).
Plochy opsaného rovnoběžnostěnu jsou stejné.
Platí vztahy: , kde a , a , a jsou délky protilehlých hran. $4a^{2}{a_{1}}^{2}-(b^{2}+{b_{1}}^{2}-c^{2}-{c_{1}}^{2} )^{2}=4b^{2}{b_{1}}^{2}-(c^{2}+{c_{1}}^{2}-a^{2}-{a_{1 }}^{2})^{2}=4c^{2}{c_{1}}^{2}-(a^{2}+{a_{1}}^{2}-b^{2 }-(b_{1})^{2})^{2}$ $A$ $a_{1}$ $b$ $b_{1}$ $C$ $c_{1}$
Pro každou dvojici protilehlých hran čtyřstěnu jsou roviny procházející jednou z nich a středem druhého kolmé.
Do popsaného rovnoběžnostěnu úměrného čtyřstěnu lze vepsat kouli.

Incentrický čtyřstěn

U tohoto typu se segmenty spojující vrcholy čtyřstěnu se středy kružnic vepsaných do protilehlých ploch protínají v jednom bodě. Vlastnosti incentrického čtyřstěnu:

Segmenty spojující těžiště čel čtyřstěnu s protilehlými vrcholy (střednicemi čtyřstěnů) se vždy protínají v jednom bodě. Tento bod je těžištěm čtyřstěnu.
Poznámka . Pokud v poslední podmínce nahradíme těžiště tváří ortocentry tváří, změní se to na novou definici ortocentrického čtyřstěnu . Pokud je nahradíme středy kružnic vepsaných do ploch, někdy nazývaných incenters , dostaneme definici nové třídy čtyřstěnů - incentric .
Segmenty spojující vrcholy čtyřstěnu se středy kružnic vepsaných do protilehlých ploch se protínají v jednom bodě.
Osy úhlů dvou ploch nakreslených ke společné hraně těchto ploch mají společnou základnu.
Součiny délek protilehlých hran jsou stejné.
Trojúhelník tvořený druhými průsečíky tří hran vycházejících z jednoho vrcholu s libovolnou koulí procházející třemi konci těchto hran je rovnostranný.

Pravidelný čtyřstěn

Toto je izoedrický čtyřstěn, ve kterém jsou všechny plochy pravidelné trojúhelníky . Je to jedna z pěti platónských těles .

Vlastnosti pravidelného čtyřstěnu:

všechny hrany čtyřstěnu jsou stejné,
Všechny plochy čtyřstěnu jsou si rovny
obvody a plochy všech ploch jsou stejné.
Pravidelný čtyřstěn je současně ortocentrický, drátěný, isohedrický, incentrický a úměrný.
Čtyřstěn je pravidelný, pokud patří ke dvěma typům uvedených čtyřstěnů: ortocentrický, drátěný, incentrický, přiměřený, izoedrický .
Čtyřstěn je pravidelný, pokud je izoedrický a patří k jednomu z následujících typů čtyřstěnů: ortocentrický, drátěný, incentrický, souměrný .
Osmistěn může být vepsán do pravidelného čtyřstěnu, navíc čtyři (z osmi) ploch osmistěnu budou zarovnány se čtyřmi stěnami čtyřstěnu, všech šest vrcholů osmistěnu bude zarovnáno se středy šesti hran čtyřstěnu .
Pravidelný čtyřstěn se skládá z jednoho vepsaného osmistěnu (uprostřed) a čtyř čtyřstěnů (podél vrcholů), přičemž okraje těchto čtyřstěnů a osmistěnu jsou poloviční než okraje pravidelného čtyřstěnu.
Pravidelný čtyřstěn lze do krychle vepsat dvěma způsoby, navíc čtyři vrcholy čtyřstěnu budou zarovnány se čtyřmi vrcholy krychle.
Do dvanáctistěnu lze vepsat pravidelný čtyřstěn, navíc čtyři vrcholy čtyřstěnu budou zarovnány se čtyřmi vrcholy dvanáctistěnu.
Křížící se hrany pravidelného čtyřstěnu jsou vzájemně kolmé.

Objem čtyřstěnu

Objem čtyřstěnu (s přihlédnutím ke znaménku), jehož vrcholy jsou v bodech, se rovná $\mathbf {r} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),$ $\mathbf {r} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),$ $\mathbf {r} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3}),$ $\mathbf {r} _{4}(x_{4},y_{4},z_{4}),$

V={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}&z_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\\1&x_ {3}&y_{3}&z_{3}\\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}\end{vmatrix}}={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}x_{ 2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}- z_{1}\\x_{4}-x_{1}&y_{4}-y_{1}&z_{4}-z_{1}\end{vmatrix}},

nebo

V={\frac {1}{3}}\ SH,

kde je plocha libovolného obličeje a je výška svržená na tento obličej. $S$ $H$

Objem čtyřstěnu z hlediska délky hran je vyjádřen pomocí Cayley-Mengerova determinantu :

288\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{12}^{ 2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{13}^{2}&d_{23}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_{14} ^{2}&d_{24}^{2}&d_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}.

Tento vzorec má plochý analog pro oblast trojúhelníku ve formě varianty Heronova vzorce prostřednictvím podobného determinantu.
Objem čtyřstěnu v délkách dvou protilehlých hran a a b , jako křižujících se čar, které jsou od sebe ve vzdálenosti h a svírají mezi sebou úhel , zjistíme podle vzorce: $\phi$

$V={\frac {1}{6}}abh\sin \phi .$

Objem čtyřstěnu v délkách jeho tří hran a , b a c , vycházejících z jednoho vrcholu a tvořících po párech, respektive ploché úhly , zjistíme vzorcem [5] $\alpha ,\beta ,\gama$

V={\frac {1}{6}}\ abc{\sqrt {D)),

kde

D = | jeden cos ⁡ γ cos ⁡ β cos ⁡ γ jeden cos ⁡ α cos ⁡ β cos ⁡ α jeden | . {\displaystyle D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma &\cos \beta \\\cos \gamma &1&\cos \alpha \\\cos \beta &\cos \alpha &1\end{vmatrix)) .}

D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma &\cos \beta \\\cos \gamma &1&\cos \alpha \\\cos \beta &\cos \alpha &1\end{vmatrix)) .

Analogem pro rovinu posledního vzorce je vzorec pro oblast trojúhelníku z hlediska délek jeho dvou stran a a b , které vycházejí z jednoho vrcholu a svírají mezi nimi úhel : $\gamma$

S={\frac {1}{2}}\ab{\sqrt {D}},

kde $D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma \\\cos \gamma &1\\\end{vmatrix}}.$

Poznámka

Existuje analog Heronova vzorce pro objem čtyřstěnu [6]

Vzorce pro čtyřstěn v kartézských souřadnicích v prostoru

Označení:

$\mathbf {r} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),$ $\mathbf {r} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),$ $\mathbf {r} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3}),$ $\mathbf {r} _{4}(x_{4},y_{4},z_{4})$ jsou souřadnice vrcholů čtyřstěnu.

Objem čtyřstěnu (s přihlédnutím ke znaménku):

$V={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}&z_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\\1&x_ {3}&y_{3}&z_{3}\\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}\end{vmatrix}}$ .

Souřadnice těžiště (průsečík střednic): $\mathbf {r} _{T}(x_{T},y_{T},z_{T})$

$x_{T}={\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}};$ $y_{T}={\frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}}{4}});$ $z_{T}={\frac {z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}}{4}}.$

Souřadnice středu vepsané koule: $\mathbf {r} _{r}(x_{r},y_{r},z_{r})$

$x_{r}={\frac {S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{S_ {1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}};$ $y_{r}={\frac {S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{S_ {1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}};$ $z_{r}={\frac {S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{S_ {1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}},$

kde je plocha obličeje naproti prvnímu vrcholu, je plocha obličeje proti druhému vrcholu atd. $S_{1}$ ${\displaystyle S_{2))$

V souladu s tím rovnice vepsané koule:

$(x-{\frac {S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{S_{1 }+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_ {3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(z-{\ frac {S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_ {3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2} ,$

Rovnice popsané koule naproti prvnímu vrcholu:

$(x-{\frac {-S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{-S_ {1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {-S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2 }+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+( z-{\frac {-S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{-S_{1}+ S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4} }})^{2},$

Rovnice popsané koule naproti prvnímu a druhému vrcholu (počet takových koulí se může lišit od nuly do tří):

$(x-{\frac {-S_{1}x_{1}-S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{-S_ {1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {-S_{1}y_{1}-S_{2}y_{2 }+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+( z-{\frac {-S_{1}z_{1}-S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{-S_{1}- S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4} }})^{2},$

Rovnice opsané koule:

${\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}&x&y&z&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1 }^{2}&x_{1}&y_{1}&z_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}&x_{2} &y_{2}&z_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&z_{3}&1 \\x_{4}^{2}+y_{4}^{2}+z_{4}^{2}&x_{4}&y_{4}&z_{4}&1\end{vmatrix}}=0.$

Vzorce čtyřstěnu v barycentrických souřadnicích

Označení:

$\mathbf {J} (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\alpha _{4})=\alpha _{1}\mathbf {J_{1 }} +\alpha _{2}\mathbf {J_{2}} +\alpha _{3}\mathbf {J_{3}} +\alpha _{4}\mathbf {J_{4}} ,$ jsou barycentrické souřadnice.

Objem čtyřstěnu (s přihlédnutím ke znaménku): Nechť jsou souřadnice vrcholů čtyřstěnu. $\mathbf {J} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1},t_{1}),\mathbf {J} _{2}(x_{2},y_ {2},z_{2},t_{2}),\mathbf {J} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3},t_{3}),\mathbf {J } _{4}(x_{4},y_{4},z_{4},t_{4}).$

Pak

$V={\frac {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}&t_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}&t_{2}\\ x_{3}&y_{3}&z_{3}&t_{3}\\x_{4}&y_{4}&z_{4}&t_{4}\\\end{vmatrix}}{(x_{1}+y_ {1}+z_{1}+t_{1})(x_{2}+y_{2}+z_{2}+t_{2})(x_{3}+y_{3}+z_{3} +t_{3})(x_{4}+y_{4}+z_{4}+t_{4})}}V',$ kde je objem základního čtyřstěnu. $PROTI'$

Souřadnice těžiště (průsečík střednic): $\mathbf {J} _{T}(1,1,1,1).$

Souřadnice středu vepsané koule: $\mathbf {J} _{r}(S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}).$

Souřadnice středu popisované koule:

$\mathbf {J} _{R}={\begin{vmatrix}0&\mathbf {J_{1}} &\mathbf {J_{2}} &\mathbf {J_{3}} &\mathbf { J_{4}} \\1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{4,1}^{2}\\1&\ alfa _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}\\1&\alpha _{3,1}^{ 2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}\\1&\alpha _{4,1}^{2}&\alpha _{4, 2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\\\end{vmatrix}}.$

Vzdálenost mezi body : $\mathbf {J} _{A}(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}),\mathbf {J} _{B}(B_{1},B_ {2},B_{3},B_{4})$

Nechat a tak dále. $C_{1}={\frac {A_{1}}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}}}-{\frac {B_{1}}{ B_{1}+B_{2}+B_{3}+B_{4}}};C_{2}={\frac {A_{2}}{A_{1}+A_{2}+A_{3 }+A_{4}}}-{\frac {B_{2}}{B_{1}+B_{2}+B_{3}+B_{4}}}$

Potom je vzdálenost mezi dvěma body: $d^{2}=-(C_{1}C_{2}\alpha _{1,2}^{2}+C_{1}C_{3}\alpha _{1,3}^{ 2}+C_{1}C_{4}\alpha _{1,4}^{2}+C_{2}C_{3}\alpha _{2,3}^{2}+C_{2}C_ {4}\alpha _{2,4}^{2}+C_{3}C_{4}\alpha _{3,4}^{2}).$

Porovnání vzorců trojúhelníku a čtyřstěnu

Oblast (objem)
$S={\sqrt {-{\frac {1}{16}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&0&c^{2 }\\1&b^{2}&c^{2}&0\\\end{vmatrix}}}}$	$V={\sqrt {{\frac {1}{288}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1} ^{2}&\alpha _{4,1}^{2}\\1&\alpha _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{ 4,2}^{2}\\1&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}\ \1&\alpha _{4,1}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\\\end{vmatrix}}} }$ , kde je vzdálenost mezi vrcholy 1 a 2 $\alpha _{1,2}$
$S={\frac {1}{2}}ah_{a}$	$V={\frac {1}{3}}S_{1}H_{1}$
$S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma$	$V={\frac {2}{3}}{\frac {S_{1}S_{2}}{\alpha _{3,4}}}\sin(\phi _{1,2} )$ , kde je úhel mezi plochami 1 a 2 a jsou plochy ploch protilehlých k vrcholům 1 a 2 $\phi _{1,2}$ ${\displaystyle S_{1))$ ${\displaystyle S_{2))$
Délka (plocha) osy
$l_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}$	$L_{1,2}={\frac {2S_{1}S_{2}\cos({\frac {\phi _{1,2}}{2}})}{S_{1}+ S_{2}}}$
Střední délka
$m_{c}={\frac {{\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2)))){2))$	$m_{1}={\frac {\sqrt {3(\alpha _{1,2}^{2}+\alpha _{1,3}^{2}+\alpha _{1,4 }^{2})-(\alpha _{2,3}^{2}+\alpha _{2,4}^{2}+\alpha _{3,4}^{2})}}{ 3}}$
Poloměr vepsané kružnice (koule)
$r={\frac {2S}{a+b+c))$	${\displaystyle r={\frac {3V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4))))$
Poloměr opsané kružnice (koule)
$R={\frac {abc}{4S}}$	$R={\frac {S_{T}}{6V}}$ , kde je plocha trojúhelníku se stranami $S_{T}$ $\alpha _{1,2}\alpha _{3,4},\alpha _{1,3}\alpha _{2,4},\alpha _{1,4}\alpha _{2 ,3}$
Kosinová věta
$\cos {\alpha }={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$	$\cos(\phi _{1,2})={\frac {A_{1,2}}{16S_{1}S_{2}}}$ , kde je úhel mezi plochami 1 a 2 a jsou plochy ploch protilehlých k vrcholům 1 a 2, je algebraický doplněk prvku matice $\phi _{1,2}$ ${\displaystyle S_{1))$ ${\displaystyle S_{2))$ $A_{1,2}$ $\alpha _{2,1}^{2}$ ${\begin{pmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{4,1}^{2 }\\1&\alpha _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}\\1&\alpha _{3 ,1}^{2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}\\1&\alpha _{4,1}^{2}&\ alfa _{4,2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\\\end{pmatrix}}$
Sinusová věta
${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$	${\frac {S_{1}}{\Psi _{1}}}={\frac {S_{2}}{\Psi _{2}}}={\frac {S_{3}} {\Psi _{3}}}={\frac {S_{4}}{\Psi _{4}}}$ , kde jsou oblasti ploch protilehlých vrcholům 1, 2, 3, 4, kde jsou úhly vzepětí vrcholu. ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4))$ $\Psi ={\sqrt {\begin{vmatrix}1&-\cos(A)&-\cos(B)\\-\cos(A)&1&-\cos(C)\\-\cos( B)&-\cos(C)&1\\\end{vmatrix}}}$ $A, B, C$
Věta o součtu úhlů trojúhelníku (poměr mezi dvěma úhly čtyřstěnu)
$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$	${\begin{vmatrix}1&-\cos \left(\phi _{2,1}\right)&-\cos \left(\phi _{3,1}\right)&-\cos \ left(\phi _{4,1}\right)\\-\cos \left(\phi _{2,1}\right)&1&-\cos \left(\phi _{3,2}\right) &-\cos \left(\phi _{4,2}\right)\\-\cos \left(\phi _{3,1}\right)&-\cos \left(\phi _{3, 2}\right)&1&-\cos \left(\phi _{4,3}\right)\\-\cos \left(\phi _{4,1}\right)&-\cos \left(\ phi _{4,2}\right)&-\cos \left(\phi _{4,3}\right)&1\\\end{vmatrix}}=0$ , kde je úhel mezi plochami 1 a 2 $\phi _{1,2}$
Vzdálenost mezi středy vepsaných a popsaných kružnic (koulí)
$R^{2}-d^{2}=2Rr$	$R^{2}-d^{2}={\frac {S_{1}S_{2}\alpha _{1,2}^{2}+S_{1}S_{3}\alpha _{1,3}^{2}+S_{1}S_{4}\alpha _{1,4}^{2}+S_{2}S_{3}\alpha _{2,3}^{ 2}+S_{2}S_{4}\alpha _{2,4}^{2}+S_{3}S_{4}\alpha _{3,4}^{2}}{(S_{1 }+S_{2}+S_{3}+S_{4})^{2}}}$ , kde jsou plochy ploch protilehlých k vrcholům 1, 2, 3, 4. ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4))$ Další vyjádření výrazu: kde je vzdálenost mezi středem opsané koule a středem koule, procházející třemi vrcholy a středem. $R^{2}-d^{2}=2rT,$ $T$

Čtyřstěn v neeuklidovských prostorech

Svazek neeuklidovských tetraedrů

Existuje mnoho vzorců pro zjištění objemu neeuklidovských tetraedrů. Například Derevnin-Mednykhův vzorec [7] pro hyperbolický čtyřstěn a vzorec J. Murakamiho [8] pro sférický čtyřstěn. Objem čtyřstěnu ve sférickém prostoru a v Lobačevském prostoru se zpravidla nevyjadřuje pomocí elementárních funkcí .

Vztah mezi dihedrálními úhly čtyřstěnu

$\operatorname {det} \Psi >0$ pro sférický čtyřstěn.

$\operatorname {det} \Psi <0$ pro hyperbolický čtyřstěn.

Kde je Gramova matice pro dihedrální úhly sférického a hyperbolického čtyřstěnu. $\Psi ={\begin{pmatrix}1&-\cos(A_{2,1})&-\cos(A_{3,1})&-\cos(A_{4,1})\\ -\cos(A_{2,1})&1&-\cos(A_{3,2})&-\cos(A_{4,2})\\-\cos(A_{3,1})&- \cos(A_{3,2})&1&-\cos(A_{4,3})\\-\cos(A_{4,1})&-\cos(A_{4,2})&-\ cos(A_{4,3})&1\\\end{pmatrix}}$

$A_{{i,j}}$ je úhel mezi plochami protilehlými i a j k vrcholu.

Kosinová věta

$\cos(A_{i,j})=-{\frac {\Phi _{i,j)){\sqrt {\Phi _{i,i}\Phi _{j,j))} }$ — pro sférický a hyperbolický čtyřstěn.

$\cos(\alpha _{i,j})={\frac {\Psi _{i,j)){\sqrt {\Psi _{i,i}\Psi _{j,j)) }}$ pro sférický čtyřstěn.

$\operatorname {ch} (\alpha _{i,j})={\frac {\Psi _{i,j)){\sqrt {\Psi _{i,i}\Psi _{j, j}}}}$ pro hyperbolický čtyřstěn.

Kde je Gramova matice pro redukované hrany kulového čtyřstěnu. $\Phi ={\begin{pmatrix}1&\cos(\alpha _{2,1})&\cos(\alpha _{3,1})&\cos(\alpha _{4,1} )\\\cos(\alpha _{2,1})&1&\cos(\alpha _{3,2})&\cos(\alpha _{4,2})\\\cos(\alpha _{ 3,1})&\cos(\alpha _{3,2})&1&\cos(\alpha _{4,3})\\\cos(\alpha _{4,1})&\cos(\ alfa _{4,2})&\cos(\alpha _{4,3})&1\\\end{pmatrix}}$

$\Phi ={\begin{pmatrix}1&\jméno operátora {ch} (\alpha _{2,1})&\jméno operátora {ch} (\alpha _{3,1})&\jméno operátora {ch} (\alpha _{4,1})\\\jméno operátora {ch} (\alpha _{2,1})&1&\jméno operátora {ch} (\alpha _{3,2})&\jméno operátora {ch} ( \alpha _{4,2})\\\jméno operátora {ch} (\alpha _{3,1})&\jméno operátora {ch} (\alpha _{3,2})&1&\jméno operátora {ch} (\ alpha _{4,3})\\\jméno operátora {ch} (\alpha _{4,1})&\jméno operátora {ch} (\alpha _{4,2})&\jméno operátora {ch} (\alpha _{4,3})&1\\\end{pmatrix}}$ je Gramova matice pro redukované okraje hyperbolického čtyřstěnu.

${\displaystyle \alpha _{i,j))$ — zmenšená vzdálenost mezi vrcholy i a j.

${\displaystyle \Psi _{i,j))$ je algebraický doplněk matice . $\psi$

Sinusová věta

${\frac {\Phi _{1,1}}{\Psi _{1,1}}}={\frac {\Phi _{2,2}}{\Psi _{2,2} ))={\frac {\Phi _{3,3}}{\Psi _{3,3}}}={\frac {\Phi _{4,4}}{\Psi _{4,4} }}$ — pro sférický a hyperbolický čtyřstěn.

Poloměr opsané koule

${\begin{vmatrix}1&\cos(\alpha _{2,1})&\cos(\alpha _{3,1})&\cos(\alpha _{4,1})&1\ \\cos(\alpha _{2,1})&1&\cos(\alpha _{3,2})&\cos(\alpha _{4,2})&1\\\cos(\alpha _{3 ,1})&\cos(\alpha _{3,2})&1&\cos(\alpha _{4,3})&1\\\cos(\alpha _{4,1})&\cos(\ alpha _{4,2})&\cos(\alpha _{4,3})&1&1\\1&1&1&1&{\frac {1}{\cos ^{2}(R)))\\\end{vmatrix} }=0$ pro sférický čtyřstěn.

Jiný způsob, jak napsat výraz: , kde jsou normály ploch čtyřstěnu. ${\displaystyle {\frac {1}{\cos(R)}}={\frac {|{\sqrt {\Phi _{1,1}}}{\overrightarrow {n_{1}}}+{\ sqrt {\Phi _{2,2))}{\overrightarrow {n_{2))}+{\sqrt {\Phi _{3,3))}{\overrightarrow {n_{3))}+{\ sqrt {\Phi _{4,4))}{\overrightarrow {n_{4))}|}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi ))))$ ${\overrightarrow {n_{1}}},{\overrightarrow {n_{2}}},{\overrightarrow {n_{3}}},{\overrightarrow {n_{4}}}$

Nebo se souřadnicemi vrcholů čtyřstěnu: . ${\frac {1}{\cos(R)}}={\frac {|{\begin{vmatrix}0&{\overrightarrow {i_{1}}}&{\overrightarrow {i_{2}} }&{\overrightarrow {i_{3}}}&{\overrightarrow {i_{4}}}\\1&X_{1}&Y_{1}&Z_{1}&T_{1}\\1&X_{2}&Y_{2 }&Z_{2}&T_{2}\\1&X_{3}&Y_{3}&Z_{3}&T_{3}\\1&X_{4}&Y_{4}&Z_{4}&T_{4}\\\end{ vmatrix}}|}{\sqrt {\název operátora {det} \Phi }}}$

${\begin{vmatrix}1&\operatorname {ch} (\alpha _{2,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{3,1})&\operatorname {ch} (\alpha _{4,1})&1\\\jméno operátora {ch} (\alpha _{2,1})&1&\jméno operátora {ch} (\alpha _{3,2})&\jméno operátora {ch} (\alpha _{4,2})&1\\\jméno operátora {ch} (\alpha _{3,1})&\jméno operátora {ch} (\alpha _{3,2})&1&\jméno operátora {ch} (\alpha _{4,3})&1\\\jméno operátora {ch} (\alpha _{4,1})&\jméno operátora {ch} (\alpha _{4,2})&\jméno operátora {ch} (\alpha _{4,3})&1&1\\1&1&1&1&{\frac {1}{\název operátora {ch} ^{2}(R)))\\\end{vmatrix}}=0$ - pro hyperbolický čtyřstěn

Poloměr vepsané koule

${\frac {1}{\sin ^{2}(r)))={\frac {\Phi _{1,1}+\Phi _{2,2}+\Phi _{3, 3}+\Phi _{4,4}+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{2,2))}\cos(\alpha _{1,2})+2{ \sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{3,3))}\cos(\alpha _{1,3})+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _ {4,4}}}\cos(\alpha _{1,4})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{3,3}}}\cos(\alpha _{ 2,3})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{4,4))}\cos(\alpha _{2,4})+2{\sqrt {\Phi _ {3,3}\Phi _{4,4}}}\cos(\alpha _{3,4})}{\název operátora {det} \Phi }}$ pro sférický čtyřstěn.

Jiný způsob zápisu výrazu je , kde jsou jednotkové poloměrové vektory vrcholů čtyřstěnu. ${\displaystyle {\frac {1}{\sin(r)}}={\frac {|{\sqrt {\Phi _{1,1}}}{\overrightarrow {r_{1}}}+{\ sqrt {\Phi _{2,2))}{\overrightarrow {r_{2))}+{\sqrt {\Phi _{3,3))}{\overrightarrow {r_{3))}+{\ sqrt {\Phi _{4,4))}{\overrightarrow {r_{4))}|}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi ))))$ ${\overrightarrow {r_{1}}},{\overrightarrow {r_{2}}},{\overrightarrow {r_{3}}},{\overrightarrow {r_{4}}}$

${\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}(r)))=-{\frac {\Phi _{1,1}+\Phi _{2,2}+\Phi _{3,3}+\Phi _{4,4}+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{2,2))}\operatorname {ch} (\alpha _{1 ,2})+2{\sqrt {\Phi _{1,1}\Phi _{3,3))}\jméno operátora {ch} (\alpha _{1,3})+2{\sqrt {\ Phi _{1,1}\Phi _{4,4}}}\jméno operátora {ch} (\alpha _{1,4})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{ 3,3))}\jméno operátora {ch} (\alpha _{2,3})+2{\sqrt {\Phi _{2,2}\Phi _{4,4))}\jméno operátora {ch} (\alpha _{2,4})+2{\sqrt {\Phi _{3,3}\Phi _{4,4))}\jméno operátora {ch} (\alpha _{3,4})} {\operatorname {det} \Phi }}$ pro hyperbolický čtyřstěn.

Vzdálenost mezi středy vepsané a opsané koule

${\frac {\cos(d)}{\sin(r)\cos(R)))={\frac ({\sqrt {\Phi _{1,1))}+{\sqrt { \Phi _{2,2}}}+{\sqrt {\Phi _{3,3}}}+{\sqrt {\Phi _{4,4}}}}}{\sqrt {\operatorname {det} \Phi }}}$ pro sférický čtyřstěn.

Vzorce čtyřstěnu v barycentrických souřadnicích

Souřadnice středu vepsané koule:

$\mathbf {J} _{r}({\sqrt {\Phi _{1,1))},{\sqrt {\Phi _{2,2))},{\sqrt {\Phi _ {3,3}}},{\sqrt {\Phi _{4,4}}}).$ pro sférický čtyřstěn.

Souřadnice středu popisované koule:

$\mathbf {J} _{R}={\begin{vmatrix}0&\mathbf {J_{1}} &\mathbf {J_{2}} &\mathbf {J_{3}} &\mathbf { J_{4}} \\1&1&\cos(\alpha _{1,2})&\cos(\alpha _{1,3})&\cos(\alpha _{1,4})\\1&\ cos(\alpha _{2,1})&1&\cos(\alpha _{2,3})&\cos(\alpha _{2,4})\\1&\cos(\alpha _{3,1 })&\cos(\alpha _{3,2})&1&\cos(\alpha _{3,4})\\1&\cos(\alpha _{4,1})&\cos(\alpha _ {4,2})&\cos(\alpha _{4,3})&1\\\end{vmatrix}}.$ pro sférický čtyřstěn.

Tetraedry v mikrokosmu

Během sp 3 hybridizace atomových orbitalů vzniká pravidelný čtyřstěn (jejich osy směřují k vrcholům pravidelného čtyřstěnu a jádro centrálního atomu se nachází ve středu popisované sféry pravidelného čtyřstěnu), proto mnoho molekuly, ve kterých k takové hybridizaci centrálního atomu dochází, mají formu tohoto mnohostěnu.
CH 4 molekula metanu .
Amonný ion NH 4 + .
Síranový ion SO 4 2- , fosfátový iont PO 4 3- , chloristanový ion ClO 4 - a mnoho dalších iontů.
Diamant C je čtyřstěn s hranou rovnou 2,5220 angstromů .
Fluorit CaF 2 , čtyřstěn s hranou rovnou 3,8626 angstromů .
Sfalerit , ZnS, čtyřstěn s hranou rovnou 3,823 angstromů .
Oxid zinečnatý , ZnO.
Komplexní ionty [BF 4 ] - , [ZnCl 4 ] 2- , [Hg(CN) 4 ] 2- , [Zn(NH3) 4 ] 2+ .
Silikáty , jejichž struktury jsou založeny na čtyřstěnu křemíku a kyslíku [SiO 4 ] 4- .

Tetraedry v přírodě

Některé plody, které jsou na jedné straně čtyři, se nacházejí ve vrcholech čtyřstěnu blízko pravidelnému. Toto provedení je způsobeno skutečností, že středy čtyř stejných kuliček, které se navzájem dotýkají, jsou umístěny ve vrcholech pravidelného čtyřstěnu. Kuličkovité plody proto tvoří podobné vzájemné uspořádání. Takto lze naaranžovat například vlašské ořechy .

Tetraedry v technologii

Čtyřstěn tvoří tuhou, staticky určitou strukturu. Čtyřstěn z prutů se často používá jako základ pro prostorové nosné konstrukce rozponů budov, stropů, trámů, krovů, pruty jsou zatěžovány pouze podélným zatížením.
Obdélníkový čtyřstěn se používá v optice. Pokud jsou plochy s pravým úhlem pokryty reflexní kompozicí nebo je celý čtyřstěn vyroben z materiálu se silným lomem světla, takže dochází k efektu úplného vnitřního odrazu, pak světlo nasměrované na plochu proti vrcholu s pravými úhly bude se odrážet ve stejném směru, odkud přišel. Tato vlastnost se používá k vytvoření rohových reflektorů , reflektorů .
Kvartérní spouštěcí graf je čtyřstěn [ 9] .

Tetraedry ve filozofii

„Platón řekl, že nejmenší částice ohně jsou čtyřstěny“ [10] .

sekulární společnost. Jedna z dam vypráví svůj sen:

- Pánové, dnes jsem viděl hrozný sen! Jako bych tam strčil prst

ústa - a není tam jediný zub!

Rževskij:

- Madam - pravděpodobně jste strčila prst na špatné místo ( čtyřstěn ) ...

Viz také

Poznámky

↑ Dvoretského starověký řecko-ruský slovník "τετρά-εδρον" (nepřístupný odkaz) . Staženo 20. února 2020. Archivováno z originálu dne 28. prosince 2014. (neurčitý)
↑ Selivanov D. F. ,. Geometrické tělo // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.
↑ Gusyatnikov P.B., Rezničenko S.V. Vektorová algebra v příkladech a problémech . - M . : Vyšší škola , 1985. - 232 s. Archivováno 10. ledna 2014 na Wayback Machine
↑ V. E. MATIZEN Izoedrický a rámový čtyřstěn "Quantum" č. 7, 1983
↑ Modenov P.S. Problémy v geometrii. - M .: Nauka, 1979. - S. 16.
↑ Markelov S. Vzorec pro objem čtyřstěnu // Matematické vzdělávání. Problém. 6. 2002. S. 132
↑ Zdroj . Získáno 31. března 2018. Archivováno z originálu 30. srpna 2017. (neurčitý)
↑ Zdroj . Získáno 31. března 2018. Archivováno z originálu 31. března 2018. (neurčitý)
↑ http://knol.google.com/k/trigger#view Archivováno 23. listopadu 2010 na Wayback Machine Trigger
↑ Werner Heisenberg. U počátků kvantové teorie. M. 2004 str. 107

Literatura

Matizen V. E., Dubrovský. Z geometrie čtyřstěnu "Quantum" , č. 9, 1988, s.66.
Zaslavsky A. A. Srovnávací geometrie trojúhelníku a čtyřstěnu // Matematické vzdělání, sér. 3 (2004), č. 8, s. 78-92.
Ponarin Ya. P. Elementární geometrie. Svazek 3. Trojúhelníky a čtyřstěny. 2009

Mnohostěn

opravit

Trojrozměrný (platónská tělesa)	pravidelný čtyřstěn Krychle Osmistěn dvanáctistěn dvacetistěn
4D	Pětibuňkový tesseract Hexadecimální buňka dvacet čtyři buňky 120 buněk Šest set buněk
Větší rozměr (uveden v závorce)	Obyčejný simplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) hyperoktaedru

Pravidelné
nekonvexní

Trojrozměrné podle počtu
tváří (uvedeno v závorkách)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
trojstěn (3)
čtyřstěn (4)
pětistěn (5)
šestistěn (6)
Heptahedron (7)
osmistěn (8)
Enneahedron (9)
Decahedron (10)
Endecahedron (11)
dvanáctistěn (12)
Tridecahedron (13)
Tetradecahedron (14)
Pentadecahedron (15)
šestistěn (16)
Heptadecahedron (17)
Octadecahedron (18)
Enneadecahedron (19)
dvacetistěn (20)
Icosotetrahedron (24)
triakontahedr (30)
Hexacontahedron (60)
Enneacontahedron (90)
Hektotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

konvexní

Archimédova tělesa

Katalánská těla

Hranoly
trojboký hranol čtyřboký hranol Pětiboký hranol Šestihranný hranol Sedmiboký hranol Osmiboký hranol Devítiúhlý hranol Dekagonální hranol Jedenáctiúhlý hranol Dvanáctiúhelníkový hranol

Johnson mnohostěn

Vzorce ,
věty ,
teorie

jiný