Zkrácený kuboktaedr
| Zkrácený kuboktaedr | |
|---|---|
| Typ | Polopravidelný mnohostěn |
| okraj | čtverec , šestiúhelník , osmiúhelník |
| tváře | |
| žebra | |
| Vrcholy | |
| Fazety nahoře | |
| Pevný úhel |
4-6:arccos(-sqrt(6)/3)=144°44'08" |
Skupina symetrie bodů |
Oktaedrální, [4,3] + , (432), řád 24 |
| Dvojitý mnohostěn |
Hexakisoktaedr |
| Skenovat | |
S probarvením okrajů |
|
Zkrácený kuboktaedr [1] [2] , zkrácený kuboktaedr [3] je polopravidelný mnohostěn (archimedovské těleso) s 12 čtvercovými plochami, 8 pravidelnými šestihrannými plochami, 6 pravidelnými osmihrannými plochami , 48 vrcholy a 72 hranami. Protože každá z tváří mnohostěnu má středovou symetrii (ekvivalent 180° rotace), je zkrácený kuboktaedr zonohedr .
Další tituly
Tento mnohostěn má několik jmen:
- Zkrácený kuboktaedr ( Johannes Kepler )
- Kosočtverečný komolý kuboktaedr ( Magnus Wenninger [4] [5] )
- Velký rhombicuboktaedron ( Robert Williams [6] )
- Velký rhombicuboktaedron (Peter Cromwell [7] )
- všezkrácená krychle nebo zkrácená krychle ( Norman Johnson )
Název komolý kuboktaedr , původně daný Johannesem Keplerem , je poněkud zavádějící. Zkrácení kuboktaedru odříznutím rohů (vrcholů) neumožňuje získat tento homogenní obrazec - některé plochy budou obdélníky . Výsledný obrazec je však topologicky ekvivalentní zkrácenému kuboktaedru a lze jej vždy deformovat do stavu, kdy se plochy stanou pravidelnými.
Alternativní název, velký rhombicuboctahedron , se odkazuje na skutečnost, že 12 čtvercových stěn leží ve stejných rovinách jako 12 tváří kosočtvercového dvanáctistěnu , který je duální k krychlostěnu. St malý rhombicuboktaedr .
Existuje také nekonvexní uniformní mnohostěn se stejným názvem - nekonvexní velký kosočtverec .
Kartézské souřadnice
Kartézské souřadnice vrcholů zkráceného kuboktaedru s hranou délky 2 a se středem v počátku jsou permutace čísel:
(±1, ±(1+√2), ±(1+2√2))Plocha a objem
Plocha A a objem V zkráceného kuboktaedru s hranou délky a se rovnají:
Pitva
Zkrácený kuboktahedr lze rozřezat (vyříznout části) na centrální kosočtverec se 6 čtvercovými kopulemi přes primární čtvercové stěny, 8 trojúhelníkovými kopulemi přes trojúhelníkové stěny a 12 kostkami přes sekundární čtvercové stěny.
Vypreparovaný zkrácený kuboktaedr může poskytnout Stewartovy toroidy rodu 5, 7 nebo 11, pokud se odstraní centrální kosočtverec a buď čtvercové kupole nebo trojúhelníkové kupole, respektive 12 kostek. Je možné zkonstruovat mnoho dalších toroidů s menší symetrií odstraněním podmnožiny těchto preparátů. Například odstranění poloviny trojúhelníkových kopulí vytvoří toroid rodu 3, který (se správnou volbou kopulí odstraněných) má tetraedrickou symetrii [8] [9] .
| Rod 3 | Rod 5 | Rod 7 | Rod 11 |
|---|---|---|---|
Jednotné barvy
Existuje pouze jedno jednotné zbarvení obličejů tohoto mnohostěnu, jedna barva pro každý typ obličeje.
Je zde 2-jednotné zbarvení čtyřstěnnou symetrií s vybarvením šestiúhelníků ve dvou barvách.
Ortografické projekce
Zkrácený kuboktaedr má dvě speciální ortogonální projekce do rovin A 2 a B 2 Coxeter s projektivními symetriemi [6] a [8] a mnoho [2] symetrií lze sestrojit z různých promítacích rovin.
| Vycentrovaný příbuzný | Vrcholy | Žebra 4-6 |
Žebra 4-8 |
Žebra 6-8 |
Normální hodnoty obličeje 4-6 |
|---|---|---|---|---|---|
| obraz | |||||
| Projektivní symetrie |
[2] + | [2] | [2] | [2] | [2] |
| Vycentrovaný příbuzný | Normály do čtverce |
Normály do osmistěnu |
Čtvercový obličej |
Šestihranný obličej |
Osmihranná faseta |
| obraz | |||||
| Projektivní symetrie |
[2] | [2] | [2] | [6] | [osm] |
Sférické obklady
Zkrácený kuboktaedr může být reprezentován jako kulový obklad a promítán do roviny pomocí stereografické projekce . Tato projekce je konformní , zachovává úhly, ale nezachovává délky ani plochy. Přímky na kouli se promítají do kruhových oblouků na rovinu.
čtvercový střed |
šestiúhelník - střed |
osmiúhelník - střed | |
| ortogonální projekce | Stereografické projekce | ||
|---|---|---|---|
Související polytopy
Zkrácený kuboktaedr patří do rodiny jednotných mnohostěnů spojených s krychlí a pravidelným osmistěnem.
| Symetrie : [4,3], (*432) | [4,3] + , (432) | [3 + ,4], (3*2) | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
   
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
| {4,3} | t{4,3} | r{4,3} | t{3,4} | {3,4} | rr{4,3} | tr{4,3} | sr{4,3} | s{3,4} | ||
| Dvojité mnohostěny | ||||||||||
| V4 3 | v3.82 _ | V(3.4) 2 | v4.62 _ | V3 4 | v3.43 _ | V4.6.8 | V3 4.4 _ | V3 5 | ||
Tento mnohostěn lze považovat za člen sekvence homogenních vrcholových obrazců se schématem (4.6.2p) a Coxeter-Dynkinovým diagramem 
. Pro p < 6 jsou členy sekvence obecně zkrácené polytopy ( zonohedra ), níže zobrazené jako kulové dlaždice. Pro p > 6 jsou to obklady v hyperbolické rovině, počínaje zkráceným trisemigonálním obkladem .
| Symmetry * n 32 n ,3 |
kulovitý | euklidovský | Kompaktní hyperbolické | Paracomp. | Nekompaktní hyperbolické | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| *232 [2,3] |
*332 [3,3] |
*432 [4,3] |
*532 [5,3] |
*632 [6,3] |
*732 [7,3] |
*832 [8,3] |
*∞32 [∞,3] |
[12i,3] |
[9i,3] |
[6i,3] |
[3i,3] | |
| postavy | ||||||||||||
| Konfigurace | 4.6.4 | 4.6.6 | 4.6.8 | 4.6.10 | 4.6.12 | 4.6.14 | 4.6.16 | 4.6.∞ | 4.6.24i | 4.6.18i | 4.6.12i | 4.6.6i |
| dvojí | ||||||||||||
| Konfigurace obličeje | V4.6.4 | V4.6.6 | V4.6.8 | V4.6.10 | V4.6.12 | V4.6.14 | V4.6.16 | V4.6.∞ | V4.6.24i | V4.6.18i | V4.6.12i | V4.6.6i |
| Symetrie * n 42 [n,4] |
kulovitý | euklidovský | Kompaktní hyperbolické | Paracomp. | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| *242 [2,4] |
*342 [3,4] |
*442 [4,4] |
*542 [5,4] |
*642 [6,4] |
*742 [7,4] |
*842 [8,4]… |
*∞42 [∞,4] | |
| Zkrácená postava |
4.8.4 |
4.8.6 |
4.8.8 |
4.8.10 |
4.8.12 |
4.8.14 |
4.8.16 |
4.8.∞ |
| Běžně zkrácené duály |
V4.8.4 |
V4.8.6 |
V4.8.8 |
V4.8.10 |
V4.8.12 |
V4.8.14 |
V4.8.16 |
V4.8.∞ |
Zkrácený graf kuboktaedru
| Zkrácený kuboktaedrový graf | |
|---|---|
| Vrcholy | 48 |
| žebra | 72 |
| Automorfismy | 48 |
| Chromatické číslo | 2 |
| Vlastnosti |
kubický
null-symmetric |
| Mediální soubory na Wikimedia Commons | |
V teorii grafů je graf zkráceného krychlového stenu (neboli graf velkého kosočtverce ) grafem vrcholů a hran zkráceného krychlového stenu. Má 48 vrcholů a 72 hran, je null-symetrický a jde o kubický Archimédův graf [10] .
Poznámky
- ↑ Wenninger 1974 , str. 39.
- ↑ Lyusternik, 1956 , str. 184.
- ↑ Encyklopedie elementární matematiky, 1963 , s. 437, 434.
- ↑ Wenninger 1974 , str. 20, 39.
- ↑ Wenninger, 1974 , str. 29.
- ↑ Williams, 1979 , s. 82.
- ↑ Cromwell, 1997 , str. 82.
- ↑ Stewart, 1970 .
- ↑ Dobrodružství mezi toroidy - Kapitola 5 - Nejjednodušší (R)(A)(Q)(T) Toroidi rodu p=1 . Staženo 8. listopadu 2015. Archivováno z originálu 4. února 2016.
- ↑ Read, Wilson, 1998 , str. 269.
Literatura
- M. Wenninger . modely mnohostěnů. - Svět , 1974.
- Mnohoúhelníky a mnohostěny // Encyklopedie elementární matematiky. Kniha čtvrtá. Geometrie / Ed. P. S. Aleksandrov , A. I. Markushevich , A. Ya. Khinchin . - M .: Státní nakladatelství fyzikální a matematické literatury , 1963. - S. 382-447.
- L. A. Lyusternik . Konvexní obrazce a mnohostěny. - M . : Státní nakladatelství technické a teoretické literatury , 1956.
- Magnus Wenninger. Modely mnohostěnů. - Cambridge University Press , 1974. - ISBN 978-0-521-09859-5 . (Vzor 15, strana 29)
- Robert Williams. Geometrický základ přírodní struktury: Zdrojová kniha designu . - Dover Publications, Inc., 1979. - ISBN 0-486-23729-X .. (oddíl 3-9, str. 82)
- P. Cromwell. Mnohostěn. - Spojené království: Cambridge, 1997. - s. 79–86 Archimédova tělesa . - ISBN 0-521-55432-2 .
- RC Read, RJ Wilson. Atlas grafů. — Oxford University Press, 1998.
- BM Stewart. Dobrodružství mezi toroidy. - 1970. - ISBN 978-0-686-11936-4 .
Odkazy
- Weisstein, Eric W. Velký rhombicuboctahedral graph (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
- 3D konvexní jednotné mnohostěny
- Editovatelná tisknutelná síť zkráceného kuboktaedru s interaktivním 3D zobrazením
- Uniformní mnohostěny
- Virtuální realita Polyhedra Encyklopedie mnohostěnů
- velký Rhombicuboctahedron: papírové proužky na pletení