Hranol (geometrie)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 13. dubna 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Mnoho jednotných hranolů

Šestihranný hranol

Typ

Jednotný mnohostěn

Vlastnosti

vertex-tranzitivní
konvexní mnohostěn

Kombinatorika

Prvky

3 n hran
2 n vrcholů

Fazety

Celkem – 2+ n
2 {n}
n {4}

4.4.n

Klasifikace

{n}×{} nebo t {2, n }

Dynkinův diagram

Skupina symetrie

D n h , [ n ,2], (* n 22), pořadí 4 n

Mediální soubory na Wikimedia Commons

Hranol ( lat. prisma z jiného řeckého πρίσμα „něco odříznutého“) je mnohostěn, jehož dvě plochy jsou shodné (stejné) mnohoúhelníky ležící v rovnoběžných rovinách a zbývající plochy jsou rovnoběžníky , které mají společné strany s těmito mnohoúhelníky. Tyto rovnoběžníky se nazývají boční plochy hranolu a zbývající dva mnohoúhelníky se nazývají jeho základny .

Mnohoúhelník ležící na základně určuje název hranolu: trojúhelník - trojúhelníkový hranol , čtyřúhelník - čtyřúhelník; pětiúhelník - pětiúhelník ( pentaprisma ) atd.

Hranol je speciální případ válce v obecném smyslu (nekruhový).

Prvky hranolu

název	Definice	Označení na výkresu	Výkres
základy	Dvě plochy, které jsou shodnými polygony ležícími ve vzájemně rovnoběžných rovinách.	$ABCDE$ , $KLMNP$
Boční plochy	Všechny tváře kromě základen. Každá boční plocha je nutně rovnoběžník.	$ABLK$ , , , , $BCML$ $CDNM$ $DEPN$ $EAKP$
Boční povrch	Sloučení bočních ploch.
Plná plocha	Spojení základen a bočního povrchu.
Postranní žebra	Společné strany bočních ploch.	$AK$ , , , , $BL$ $CM$ $DN$ $EP$
Výška	Úsečka spojující roviny, ve kterých leží základny hranolu a kolmá na tyto roviny.	$KR$
Úhlopříčka	Úsečka spojující dva vrcholy hranolu, které nepatří ke stejné ploše.	$BP$
Diagonální rovina	Rovina procházející boční hranou hranolu a úhlopříčkou podstavy.	$EBP$
Diagonální řez	Průsečík hranolu a diagonální roviny. V řezu se tvoří rovnoběžník včetně jeho speciálních případů - kosočtverec, obdélník, čtverec.	$EBLP$
Kolmý (ortogonální) řez	Průsečík hranolu a roviny kolmé k jeho boční hraně.

Vlastnosti hranolu

Základny hranolu jsou stejné mnohoúhelníky.
Boční plochy hranolu jsou rovnoběžníky.
Boční hrany hranolu jsou rovnoběžné a stejné.
Objem hranolu se rovná součinu jeho výšky a plochy základny:

V=S\cdot h

Objem hranolu s pravidelnou n -gonální základnou je

V={\frac {n}{4}}hs^{2}\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{n}}

(zde s je délka strany mnohoúhelníku).

Celková plocha hranolu se rovná součtu jeho boční plochy a dvojnásobku základní plochy.
Plocha boční plochy libovolného hranolu , kde je obvod kolmého řezu, je délka boční hrany. $S=P\cdot l$ $P$ $l$
Plocha boční plochy rovného hranolu , kde je obvod základny hranolu, je výška hranolu. $S=P\cdot h$ $P$ $h$
Plocha boční plochy přímého hranolu s pravidelnou n -gonální základnou se rovná

A={\frac {n}{2}}s^{2}\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{n}}+nsh.

Kolmý řez je kolmý ke všem bočním hranám hranolu.
Úhly kolmého řezu jsou lineární úhly dihedrálních úhlů na odpovídajících bočních hranách.
Kolmý řez je kolmý ke všem bočním plochám.
Dvojitý polyhedron rovného hranolu je bipyramida .

Typy hranolů

Hranol, jehož základnou je rovnoběžník , se nazývá rovnoběžnostěn .

Přímý hranol je hranol, jehož boční hrany jsou kolmé k rovině podstavy, což znamená, že všechny boční plochy jsou obdélníky [1] .

Pravoúhlý hranol se také nazývá kvádr . Schläfliho symbol takového hranolu je { }×{ }×{ }.

Pravidelný hranol je rovný hranol, jehož základna je pravidelný mnohoúhelník . Boční plochy pravidelného hranolu jsou stejné obdélníky .

Pravidelný hranol, jehož boční strany jsou čtverce (jehož výška se rovná straně základny) je polopravidelný mnohostěn . Schläfliho symbol takového hranolu je t{2,p}. Přímé hranoly s pravidelnými bázemi a stejnými délkami hran tvoří jednu ze dvou nekonečných posloupností semipravidelných mnohostěnů ( antihranoly tvoří druhou posloupnost ).

Šikmé hranoly se nazývají hranoly, jejichž hrany nejsou kolmé k rovině podstavy.

Komolý hranol je mnohostěn, který je od hranolu odříznut rovinou, která není rovnoběžná s podstavou [2] . Komolý hranol není sám o sobě hranolem.

Schlegelovy diagramy

trojboký hranol	4úhlý hranol	5-úhelníkový hranol	šestihranný hranol	7-úhelníkový hranol	osmiboký hranol

Symetrie

Grupa symetrie pravého n -gonálního hranolu s pravidelnou základnou je grupa D n h řádu 4 n , kromě krychle, která má grupu symetrie O h řádu 48, obsahující tři verze D 4h . jako podskupiny . Rotační skupina je Dn řádu 2n , s výjimkou případu krychle, pro kterou je rotační skupina O řádu 24, která má tři verze D4 jako podskupiny.

Skupina symetrie D n h zahrnuje středovou symetrii právě tehdy, když n je sudé.

Zobecnění

Prizmatické mnohostěny

Prizmatický mnohostěn je zobecněním hranolu v prostorech dimenze 4 a vyšších. N - rozměrný hranolový mnohostěn je konstruován ze dvou ( n − 1 )-rozměrných mnohostěnů přesunutých do další dimenze.

Prvky prizmatického n - rozměrného polytopu jsou zdvojeny z prvků ( n − 1 )-rozměrného polytopu, poté jsou vytvořeny nové prvky další úrovně.

Vezměme si n -rozměrný mnohostěn s prvky ( i -rozměrná plocha , i = 0, …, n ). Prizmatický ( )-rozměrný mnohostěn bude mít prvky dimenze i (pro , ). $f_{i}$ $n+1$ ${\displaystyle 2f_{i}+f_{-1))$ $f_{-1}=0$ $f_{n}=1$

Podle rozměrů:

Vezmeme mnohoúhelník s n vrcholy a n stranami. Dostaneme hranol s 2 n vrcholy, 3 n hranami a plochami. $2+n$
Vezměte mnohostěn s v vrcholy, e hranami a f ploch. Dostaneme (4-rozměrný) hranol s 2 v vrcholy, hranami, plochami a buňkami. $2e+v$ $2f+e$ $2+f$
Vezměte 4-rozměrný mnohostěn s v vrcholy, e hranami, f ploch a c buněk. Dostaneme (5-rozměrný) hranol s 2v vrcholy, hranami, (2-rozměrnými) plochami, buňkami a hyperbuňkami. $2e+v$ $2f+e$ $2c+f$ $2+c$

Jednotné hranolové mnohostěny

Pravidelný n - polytop reprezentovaný Schläfliho symbolem { p , q , ..., t } může tvořit jednotný hranolový polytop dimenze ( n + 1 ) reprezentovaný přímým součinem dvou Schläfliho symbolů : { p , q , . .., t } ×{}.

Podle rozměrů:

Hranol z 0-rozměrného mnohostěnu je úsečka reprezentovaná prázdným Schläfliho symbolem {}.
Hranol z 1-rozměrného mnohostěnu je obdélník získaný ze dvou segmentů. Tento hranol je reprezentován jako součin Schläfliho symbolů {}×{}. Pokud je hranol čtverec , lze zápis zkrátit: {}×{} = {4}.
- Příklad: Čtverec, {}×{}, dva rovnoběžné segmenty spojené dvěma dalšími segmenty, strany .
Polygonální hranol je 3-rozměrný hranol vyrobený ze dvou mnohoúhelníků (jeden získaný paralelním posunem druhého), které jsou spojeny obdélníky. Z pravidelného mnohoúhelníku { p } lze získat homogenní n -gonální hranol reprezentovaný součinem { p }×{}. Pokud p = 4 , hranol se stane krychlí : {4}×{} = {4, 3}.
- Příklad: Pětiúhelníkový hranol , {5}×{}, dva rovnoběžné pětiúhelníky spojené pěti pravoúhlými stranami .
4-rozměrný hranol získaný ze dvou mnohostěnů (jeden získaný paralelním posunem druhého), se spojovacími trojrozměrnými prizmatickými buňkami. Z pravidelného mnohostěnu { p , q } lze získat homogenní 4-rozměrný hranol reprezentovaný součinem { p , q }×{}. Pokud je mnohostěn krychle a strany hranolu jsou také krychle, hranol se stane tesseraktem : {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.
- Příklad: dvanáctistěnný hranol , {5, 3}×{}, dva rovnoběžné dvanáctistěny spojené 12 pětibokými hranoly ( strany ).
…

Vyšší-dimenzionální prizmatické mnohostěny také existují jako přímé produkty jakýchkoli dvou mnohostěnů. Rozměr hranolového mnohostěnu se rovná součinu rozměrů prvků výrobku. První příklad takového produktu existuje ve 4-rozměrném prostoru a nazývá se duoprismy , které se získají vynásobením dvou mnohoúhelníků. Pravidelné duoprizmy jsou reprezentovány symbolem { p }×{ q }.

Rodina pravidelných hranolů

Konfigurace	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	17.4.4	∞.4.4
Polygon
Mozaika

Zkroucený hranol a antihranol

Zkroucený hranol je nekonvexní hranolový mnohostěn získaný z jednotného q -gonálu dělením bočních ploch úhlopříčkou a otočením horní základny, obvykle o úhel radiánů ( stupňů), ve směru, ve kterém se strany stávají konkávními. [3] [4] . ${\frac {\pi }{q}}$ ${\frac {180}{q))$

Zkroucený hranol nelze rozlomit na čtyřstěny bez zavedení nových vrcholů. Nejjednodušší příklad s trojúhelníkovými základnami se nazývá Schoenhardtův mnohostěn .

Zkroucený hranol je topologicky totožný s antihranolem , ale má poloviční symetrie : D n , [ n ,2] + , řádu 2 n . Tento hranol lze považovat za konvexní antiprisma s odstraněným čtyřstěnem mezi dvojicemi trojúhelníků.

trojúhelníkový	čtyřúhelníkový		12-ti stranný
Schoenhardtův mnohostěn	Kroucený čtvercový antihranol	Čtvercový antihranol	Zkroucený dvanáctihranný antihranol

Související mnohostěny a obklady

Rodina pravidelných hranolů

Konfigurace	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	17.4.4	∞.4.4
Polygon
Mozaika

Rodina konvexních kopulí

n	2	3	čtyři	5	6
název	{2} \|\| t{2}	{3} \|\| t{3}	{4} \|\| t{4}	{5} \|\| t{5}	{6} \|\| t{6}
Kupole	Diagonální kopule	Trojspádová kopule	Kopule se čtyřmi sklony	kopule s pěti svahy	Šestihranná kopule (plochá)
Související jednotné mnohostěny	trojboký hranol	Kuboktaedr	Rhombicubo- osmistěn	Rhombicos dvanáctistěn	Kosočtverec - šestiúhelníková mozaika

Symetrie

Hranoly jsou topologicky součástí sekvence stejnoměrně zkrácených mnohostěnů s vrcholovými konfiguracemi (3.2n.2n) a [n,3].

Možnosti symetrie * n 32 zkrácených obkladů: 3,2 n , 2 n
Symetrie * n 32 [n,3]	kulovitý				euklidovský	Kompaktní hyperbolické.		Paracompact _	Nekompaktní hyperbolické.
Symetrie * n 32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]
Zkrácené postavy
Konfigurace	3.4.4	3.6.6	3.8.8	3.10.10	3.12.12	3.14.14	3.16.16	3.∞.∞	3,24i.24i	3.18i.18i	3.12i.12i
Rozdělené postavy
Konfigurace	V3.4.4	V3.6.6	V3.8.8	V3.10.10	V3.12.12	V3.14.14	V3.16.16	V3.∞.∞

Hranoly jsou topologicky součástí sekvence zešikmených mnohostěnů s vrcholovými obrazci (3.4.n.4) a obklady v hyperbolické rovině . Tyto vertex-tranzitivní obrazce mají (*n32) zrcadlovou symetrii .

Možnosti symetrie * n 42 rozšířené obklady: 3.4. č. 4 _
Symetrie * n 32 [n,3]	kulovitý				euklidovský	Kompaktní hyperbolické		Paracompact
Symetrie * n 32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
Postava
Konfigurace	3.4.2.4	3.4.3.4	3.4.4.4	3.4.5.4	3.4.6.4	3.4.7.4	3.4.8.4	3.4.∞.4

Složené mnohostěny

Existují 4 jednotné sloučeniny trojúhelníkových hranolů:

Spojení čtyř trojúhelníkových hranolů , spojení osmi trojúhelníkových hranolů , spojení deseti trojúhelníkových hranolů , spojení dvanácti trojúhelníkových hranolů . Voštiny

Existuje 9 jednotných plástů , včetně buněk ve formě trojúhelníkových hranolů:

gyroskopicky podlouhlé střídavé krychlové plástve ,
podlouhlé střídavé krychlové plástve ,
rotované trojúhelníkové hranolové plástve ,
hranatý hranolový plást ,
trojhranné hranolové plástve ,
trojhranné šestihranné hranolové plástve ,
komolé šestihranné hranolové plástve ,
rombotrihexagonální prizmatická plástev ,
nabírané šestihranné prizmatické plástve ,
podlouhlé trojúhelníkové hranolové plástve .

Související polytopy

Trojúhelníkový hranol je prvním mnohostěnem v řadě polopravidelných mnohostěnů . Každý následující jednotný mnohostěn obsahuje předchozí mnohostěn jako vrcholový obrazec . Thorold Gosset identifikoval tuto sérii v roce 1900 jako obsahující všechny aspekty pravidelných vícerozměrných mnohostěnů , všechny simplice a ortoplexy ( pravidelné trojúhelníky a čtverce v případě trojúhelníkových hranolů). V Coxeterově zápisu je trojúhelníkový hranol dán symbolem −1 21 .

k 21 v prostoru dimenze n
Prostor	finále						euklidovský	Hyperbolický
E n	3	čtyři	5	6	7	osm	9	deset
Skupina Coxeter	E3 = A2A1	E4 = A4	E5=D5	E₆	E₇	E₈	E₉ = Ẽ₈ = E₈ +	E10 = T8 = E8 ++
Coxeterův graf
Symmetry	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[3 1,2,1 ]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
Objednat	12	120	192	51 840	2 903 040	696 729 600	∞
Graf							-	-
Označení	−1 21	0 21	121 _	221 [ en	3 21	4 21	5 21	6 21

Čtyřrozměrný prostor

Trojúhelníkový hranol slouží jako buňka v sadě 4-rozměrných jednotných 4-rozměrných mnohostěnů , včetně:

čtyřboký hranol	osmiboký hranol	kuboktaedrický hranol	dvacetistěnný hranol	ikosidodekaedrický hranol	komolý dvanáctistěnný hranol

rhombicosi- dodekaedrický hranol	rhombicube - osmiboký hranol	komolý krychlový hranol	tupý dvanáctistěnný hranol	n-gonální antiprizmatický hranol

zkosený 5článkový	zkosený 5-článkový	hoblovaný 5článkový	5-článkový zkrácený pluh	zkosený tesseract	zkosený-zkrácený tesseract	hoblovaný tesseract	pluh-zkrácený tesseract

zkosený 24článkový	zkosená 24článková	hoblovaný 24článkový	24článkový zkrácený pluh	zkosený 120-článkový	zkosená 120-článková	plánovaná 120článková	pluh zkrácený 120-článkový

Viz také

Poznámky

↑ Kern, Bland, 1938 , str. 28.
↑ Truncated hranol // Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / kap. vyd. A. M. Prochorov . - 3. vyd. - M .: Sovětská encyklopedie, 1969-1978.
↑ Gorini, 2003 , str. 172.
↑ Výkresy kroucených hranolů . Staženo 28. ledna 2019. Archivováno z originálu 29. ledna 2019. (neurčitý)

Literatura

William F. Kern, James R. Bland. Solidní měření s důkazy . — 1938.
Kateřina A. Goriniová. Fakta v souboru: Geometrická příručka. - New York: Infobase Publishing, 2003. - (Fakta v souboru). - ISBN 0-8160-4875-4 .
Anthony Pugh. Kapitola 2: Archimedovy mnohostěny, hranol a antihranoly // Mnohostěny: Vizuální přístup. - Kalifornie: University of California Press Berkeley, 1976. - ISBN 0-520-03056-7 .

Odkazy

Weisstein, Eric W. Prism (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Jiří Olševskij . " Prizmatický polytop ". Glosář pro hyperprostor.
Nekonvexní hranoly a antiprismata (stahování od 12-03-2018 [1696 dní])
Povrchová plocha MATHguide
Svazek MATHguide
Papírové modely hranolů a antihranolů
Papírové modely hranolů a antihranolů Stella [ .
Stella: Polyhedron Navigator : Programy pro vytváření 3D a 4D obrázků zobrazené na této stránce.

Mnohostěn

opravit

Trojrozměrný (platónská tělesa)	pravidelný čtyřstěn Krychle Osmistěn dvanáctistěn dvacetistěn
4D	Pětibuňkový tesseract Hexadecimální buňka dvacet čtyři buňky 120 buněk Šest set buněk
Větší rozměr (uveden v závorce)	Obyčejný simplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) hyperoktaedru

Pravidelné
nekonvexní

Trojrozměrné podle počtu
tváří (uvedeno v závorkách)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
trojstěn (3)
čtyřstěn (4)
pětistěn (5)
šestistěn (6)
Heptahedron (7)
osmistěn (8)
Enneahedron (9)
Decahedron (10)
Endecahedron (11)
dvanáctistěn (12)
Tridecahedron (13)
Tetradecahedron (14)
Pentadecahedron (15)
šestistěn (16)
Heptadecahedron (17)
Octadecahedron (18)
Enneadecahedron (19)
dvacetistěn (20)
Icosotetrahedron (24)
triakontahedr (30)
Hexacontahedron (60)
Enneacontahedron (90)
Hektotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

konvexní

Archimédova tělesa

Katalánská těla

Hranoly
trojboký hranol čtyřboký hranol Pětiboký hranol Šestihranný hranol Sedmiboký hranol Osmiboký hranol Devítiúhlý hranol Dekagonální hranol Jedenáctiúhlý hranol Dvanáctiúhelníkový hranol

Johnson mnohostěn

Vzorce ,
věty ,
teorie

jiný