Tupý dvanáctistěn
Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 1. dubna 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .| tupý dvanáctistěn | |
|---|---|
| Typ | Polopravidelný mnohostěn |
| okraj | pětiúhelník , trojúhelník |
| tváře | |
| žebra | |
| Vrcholy | |
| Fazety nahoře | |
| Pevný úhel |
3-3:164°10'31"(164,18°) |
| symbol Schläfli | sr{5,3} nebo |
| symbol Wythoff | 2 3 5 |
| Coxeterův graf |   
|
| Rotační symetrie | I , [5,3] + , (532), pořadí 60 |
| Dvojitý mnohostěn |
Pětiúhelníkový šestistěn |
| Skenovat | |
S probarvením okrajů |
|
Snub dodecahedron [1] [2] , snub dodecahedron [3] nebo snub icosidodecahedron je polopravidelný mnohostěn (Archimédské těleso), jedno ze třinácti konvexních izogonálních neprizmatických těles, jejichž plochy jsou dva nebo více pravidelných mnohoúhelníků .
Tupý dvanáctistěn má 92 ploch (největší počet ze všech Archimedových těles), 12 z nich jsou pětiúhelníky a zbývajících 80 jsou pravidelné trojúhelníky . Má 150 hran a 60 vrcholů.
Mnohostěn má dva odlišné tvary, které jsou navzájem zrcadlovými obrazy nebo „ enantiomorfním pohledem “). Spojení obou typů tvoří složeninu dvou přikrčených dvanáctistěn a konvexní trup této konstrukce je kosočtvercový ikosidodekaedr .
Kepler jej původně v roce 1619 pojmenoval latinsky dodecahedron simum ve své knize Harmonices Mundi . Harold Coxeter si všiml, že mnohostěn lze získat stejnou měrou z dvanáctistěnu nebo dvacetistěnu a pojmenoval jej jako snub icosidodecahedron se svislým symbolem Schläfli .
Poměr délky žebra "a" k průměru opsané koule "D":
D = 4,311675*a
Kartézské souřadnice
Kartézské souřadnice vrcholů dvanáctistěnu jsou sudé permutace
(±2α, ±2, ±2β), (±(α+β/ϕ+ϕ), ±(−αϕ+β+1/ϕ), ±(α/ϕ+βϕ−1)), (±(α+β/ϕ−ϕ), ±(αϕ−β+1/ϕ), ±(α/ϕ+βϕ+1)), (±(−α/ϕ+βϕ+1), ±(−α+β/ϕ−ϕ), ±(αϕ+β−1/ϕ)) a (±(−α/ϕ+βϕ−1), ±(α−β/ϕ−ϕ), ±(αϕ+β+1/ϕ)),se sudým počtem znamének plus, kde
α = ξ − 1 / ξa
β = ξϕ + ϕ 2 + ϕ /ξ,Zde ϕ = (1 + √5)/2 je zlatý řez a ξ je skutečné řešení rovnice ξ 3 − 2ξ = ϕ a toto číslo je
![\xi = \sqrt[3]{\frac{\phi}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\phi - \frac{5}{27))} + \sqrt[3]{ \frac{\phi}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{\phi - \frac{5}{27}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ece82cface6818cdc3ab95d570839064eae3faa7)
nebo přibližně 1,7155615.
Tento upínací dvanáctistěn má délku hrany přibližně 6,0437380841.
Pokud vezmeme liché permutace výše uvedených souřadnic se sudým počtem znamének plus, dostaneme jinou, enantiomorfní formu té první. Ačkoli to není hned zřejmé, tělo získané ze sudých permutací je stejné jako z lichých permutací. Stejně tak zrcadlový obraz mnohostěnu bude odpovídat buď sudým nebo lichým permutacím.
Plocha a objem
Pro dvanáctistěnný dvanáctistěn s délkou hrany 1 je plocha povrchu
a hlasitost je
,
kde ϕ je zlatý řez .
Tupý dvanáctistěn má nejvyšší kulovitost ze všech Archimedových těles .
Ortografické projekce
Tupý dvanáctistěn má dvě speciální ortogonální projekce soustředěné na dva typy ploch - trojúhelníkové a pětiúhelníkové, odpovídající Coxeterovým rovinám A 2 a H 2 .
| Vycentrovaný příbuzný | trojúhelníkový obličej |
Pětiúhelníkový obličej |
Žebra |
|---|---|---|---|
| obraz | |||
| Projektivní symetrie |
[3] | [5] + | [2] |
| Dvojitý mnohostěn |
Geometrické vazby
| Rotace tupého dvanáctistěnu |
|---|
Tupý dvanáctistěn lze získat z dvanácti pravidelných pětiúhelníkových ploch dvanáctistěnu jejich vytažením směrem ven , takže se již vzájemně nedotýkají. Po natažení do vhodné vzdálenosti vznikne kosočtverec , pokud je výsledný prostor mezi rozdělenými hranami vyplněn čtverci a mezi rozdělenými vrcholy trojúhelníky. Abychom však dosáhli uraženého vzhledu, vyplníme pouze trojúhelníkové plochy a čtvercové mezery necháme prázdné. Nyní otáčíme pětiúhelníky kolem jejich středů spolu s trojúhelníky, dokud se čtvercové mezery nezmění na rovnostranné trojúhelníky.
dvanáctistěn |
Rhombicosidodecahedron ( rozšířený dvanáctistěn ) |
tupý dvanáctistěn |
Snub dodecahedron lze také získat z zkráceného icosidodecahedron střídáním . Šedesát vrcholů zkráceného ikosidodekaedru tvoří mnohostěn topologicky ekvivalentní jednomu snubovému dvanáctistěnu. Zbývajících šedesát tvoří jeho zrcadlový obraz. Výsledný mnohostěn je vertex-tranzitivní , ale není homogenní, protože má hrany různých délek, je nutná určitá deformace, aby se dostal do homogenního mnohostěnu.
Související mnohostěny a obklady
| Symetrie : [5,3] , (*532) | [5,3] + , (532) | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
 
|
|
|
|
|
|
|
|
| {5,3} | t{5,3} | r{5,3} | t{3,5} | {3,5} | rr{5,3} | tr{5,3} | sr{5,3} |
| Dvojité až jednotné mnohostěny | |||||||
| V5.5.5 | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V5.6.6 | V3.3.3.3.3 | V3.4.5.4 | V4.6.10 | V3.3.3.3.5 |
Tento polopravidelný polytop patří do posloupnosti snub [ mnohostěnů a obkladů s vrcholovým obrazcem (3.3.3.3. n ) a Coxeter-Dynkinovým diagramem 
. Tyto obrazce a jejich duály mají (n32) rotační symetrii a existují v euklidovské rovině pro n=6 a hyperbolické rovině pro libovolné n větší než 6. Můžeme předpokládat, že posloupnost začíná n=2, pokud předpokládáme že některé nastavené tváře degenerují do dvouúhelníků .
| Symetrie n 32 |
kulovitý | euklidovský | Kompaktní hyperbolické. | Paracomp. | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 232 | 332 | 432 | 532 | 632 | 732 | 832 | ∞32 | |
| Uražené figurky |
||||||||
| Konfigurace | 3.3.3.3.2 | 3.3.3.3.3 | 3.3.3.3.4 | 3.3.3.3.5 | 3.3.3.3.6 | 3.3.3.3.7 | 3.3.3.3.8 | 3.3.3.3.∞ |
| postavy | ||||||||
| Konfigurace | V3.3.3.3.2 | V3.3.3.3.3 | V3.3.3.3.4 | V3.3.3.3.5 | V3.3.3.3.6 | V3.3.3.3.7 | V3.3.3.3.8 | V3.3.3.3.∞ |
Snub dodecahedron graf
| snub dodecahedron graf | |
|---|---|
| Vrcholy | 60 |
| žebra | 150 |
| Automorfismy | 60 |
| Vlastnosti |
Hamiltonovský regulární |
| Mediální soubory na Wikimedia Commons | |
V teorii grafů je snub dodecahedron graf graf vrcholů a hran snub dodecahedron. Má 60 vrcholů a 150 hran a je to Archimédův graf [4] .
Viz také
- Animace převodu plochého mnohoúhelníku na mnohostěn
- ccw a cw jsou rotující tupé dvanáctistěny
Poznámky
- ↑ Encyklopedie elementární matematiky, 1963 , s. 437, 435.
- ↑ Lyusternik, 1956 , str. 183.
- ↑ Wenninger 1974 , str. 20, 42.
- ↑ Read, Wilson, 1998 , str. 269.
Literatura
- M. Wenninger . modely mnohostěnů. - Svět , 1974.
- Mnohoúhelníky a mnohostěny // Encyklopedie elementární matematiky. Kniha čtvrtá. Geometrie / Ed. P. S. Aleksandrov , A. I. Markushevich , A. Ya. Khinchin . - M .: Státní nakladatelství fyzikální a matematické literatury , 1963. - S. 382-447.
- L. A. Lyusternik . Konvexní obrazce a mnohostěny. - M . : Státní nakladatelství technické a teoretické literatury , 1956.
- Udaya Jayatilake. Výpočty na ploše a vrcholu pravidelných mnohostěnů // Mathematical Gazette. - 2005. - T. 89 , no. 514 (březen) . — s. 76–81 .
- Robert Williams. Geometrický základ přírodní struktury: Zdrojová kniha designu . - Dover Publications, Inc., 1979. - ISBN 0-486-23729-X .. (oddíl 3-9)
- P. Cromwell. Mnohostěn. - Spojené království: Cambridge, 1997. - s. 79–86 Archimédova tělesa . - ISBN 0-521-55432-2 .
- RC Read, RJ Wilson. Atlas grafů. — Oxford University Press, 1998.
Odkazy
- Weisstein, Eric W. Snub dodekaedrální graf (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
- 3D konvexní uniformní mnohostěny Archivováno 22. prosince 2015 na Wayback Machine
- Upravitelná tisknutelná síť Snub Dodecahedron s interaktivním 3D zobrazením Archivováno 23. prosince 2015 na Wayback Machine
- Uniform Polyhedra Archived 11. února 2008 na Wayback Machine
- Virtuální realita Polyhedra Archived 23. února 2008 na Wayback Machine The Encyclopedia of Polyhedra
- Snub Dodecahedron vyrobený pomocí LEGO Archived 22. prosince 2015 na Wayback Machine od Antonia Nicassia (ITÁLIE)