Pravidelný dvanáctistěn

Pravidelný dvanáctistěn
( rotující model , 3D model )
Typ	pravidelný mnohostěn
Vlastnosti	konvexní
Kombinatorika
Prvky	12 ploch 30 hran 20 vrcholů X  = 2
Fazety	pravidelné pětiúhelníky
Konfigurace vertexu	5 3
Dvojitý mnohostěn	pravidelný dvacetistěn
Vertexová postava
Skenovat
Klasifikace
Notový zápis	U23 , C26 , W5 _
symbol Schläfli	{5,3}
symbol Wythoff	3 | 25
Dynkinův diagram
Skupina symetrie	I h , H3 , [ 5,3 ], (*532)
Rotační skupina	I, [5,3] + , (532)
kvantitativní data
Délka ploutve
Plocha povrchu
Hlasitost
Dihedrální úhel
Pevný úhel na vrcholu
Mediální soubory na Wikimedia Commons

Pravidelný dvanáctistěn (z jiného Řeka δώδεκα  - „dvanáct“ a εδρον  – „obličej“) je jedním z pěti možných pravidelných mnohostěnů . Dvanáctstěn je složen z dvanácti pravidelných pětiúhelníků [1] , které jsou jeho čely. Každý vrchol dvanáctistěnu je vrcholem tří pravidelných pětiúhelníků. Dvanáctstěn má tedy 12 ploch (pětiúhelníkových), 30 hran a 20 vrcholů (v každém se sbíhají 3 hrany).

Historie

Snad nejstarší předmět v podobě dvanáctistěnu byl nalezen na konci 19. století v severní Itálii poblíž Padovy , pochází z roku 500 před naším letopočtem. E. a byl pravděpodobně používán Etrusky jako kostka [2] [3] .

Dvanáctstěn byl ve svých spisech zvažován starověkými řeckými vědci. Platón porovnal různé klasické prvky s pravidelnými polyhedry . O dvanáctistěnu Platón napsal, že „... jeho bůh se rozhodl pro vesmír a uchýlil se k němu jako k vzoru“ [4] . Euclides ve větě 17 knihy XIII „ Počátky “ staví dvanáctistěn na hranách krychle [5] [6] :132-136 . Pappus z Alexandrie v "Matematické sbírce" se zabývá konstrukcí dvanáctistěnu vepsaného do dané koule, přičemž cestou dokazuje, že vrcholy dvanáctistěnu leží v rovnoběžných rovinách [7] [6] :318-319 [8] .

Na území několika evropských zemí bylo nalezeno mnoho předmětů, nazývaných římské dvanáctistěny , pocházejících z 2.-3. n. e., jehož účel není zcela jasný.

Krátce poté, co se objevila Rubikova kostka , byl v roce 1981 podobný hlavolam patentován ve formě pravidelného dvanáctistěnu - megaminxu . Stejně jako klasická Rubikova kostka má každá hrana k sobě přiléhající tři části [9] . Později, pokud jde o Rubikovu kostku, se objevily takové dvanáctistěnné puzzle se čtyřmi dílky na okraji (gigaminx), pěti (theraminx) atd. Složitost a doba jejich skládání se stejně jako u Rubikovy kostky zvyšuje s přibývajícím počtem dílů na hraně.

Základní vzorce

Pokud vezmeme délku hrany , pak se plocha dvanáctistěnu rovná

Objem dvanáctistěn

Poloměr opsané koule [10]

Poloměr polovepsané koule je [10]

Poloměr vepsané koule [10]

Vlastnosti

• Všech dvacet vrcholů dvanáctistěnu leží pět ve čtyřech rovnoběžných rovinách a v každé z nich tvoří pravidelný pětiúhelník.
• Dihedrální úhel mezi libovolnými dvěma sousedními dvanáctistěny je arccos(−1/√5) ≈ 116,565° [10] .
• Součet plochých úhlů v každém z 20 vrcholů je 324°, prostorový (trojední) úhel je arccos(−11/5√5) ≈ 2,9617  steradiánů .
• Kostka může být vepsána do dvanáctistěnu tak, že strany krychle jsou úhlopříčky dvanáctistěnu.
• Dvanáctstěn má tři hvězdy .
• Do dvanáctistěnu lze vepsat pět kostek. Nahradíme-li pětiúhelníkové plochy dvanáctistěnu plochými pětiúhelníkovými hvězdami tak, že všechny hrany dvanáctistěnu zmizí, dostaneme prostor pěti protínajících se krychlí. Dvanáctstěn jako takový zmizí. Místo uzavřeného mnohostěnu se objeví otevřený geometrický systém pěti ortogonalit. Nebo symetrický průnik pěti trojrozměrných prostorů.
• Nejbližší rovina rovnoběžná s libovolně vybranou plochou, ve které je pět vrcholů, které do zvolené plochy nepatří, je od této plochy oddělena vzdáleností poloměru kružnice opsané této ploše. A poloměr kruhu popsaného kolem těchto pěti vrcholů se rovná průměru kruhu vepsaného do kterékoli z ploch. Tyto dvě veličiny jsou a , kde je délka hrany dvanáctistěnu.

Prvky symetrie dvanáctistěnu

• Dvanáctstěn má střed souměrnosti a 15 os souměrnosti. Každá z os prochází středy protilehlých rovnoběžných hran.
• Dvanáctstěn má 15 rovin symetrie. Kterákoli z rovin symetrie prochází v každé ploše vrcholem a středem protější hrany.
• Rotační skupina dodekaedru je označena a izomorfní ( střídající se skupina stupně 5), zatímco skupina plné symetrie je izomorfní .

Vztah se sférickými teselacemi

Pravidelný dvanáctistěn také vyvolává dlaždicování koule pravidelnými pětiúhelníky.

Zajímavosti

• Radiolariánský Circorhegma dodecahedra [11] popsaný Ernstem Haeckelem v roce 1887 má tvar blízký dvanáctistěnu .
• V roce 2003 , při analýze dat z kosmické lodi WMAP , byla předložena hypotéza, že vesmír je dvanáctistěnný Poincarého prostor [12] [13] [14] .

V kultuře

• Dvanáctstěn se používá jako generátor náhodných čísel (společně s dalšími kostmi ) ve stolních hrách na hrdiny [15] a je označen d12 (kostky - kosti).
• Stolní kalendáře jsou vyrobeny ve formě dvanáctistěnu z papíru, kde každý z dvanácti měsíců je umístěn na jedné z ploch [15] .
• Ve hře Pentacore je svět prezentován ve formě tohoto geometrického obrazce .
• Ve hrách "Sonic the Hedgehog 3" a "Sonic & Knuckles" ze série Sonic the Hedgehog mají smaragdy chaosu vzhled dvanáctistěnu .
• Ve hře "Osud" mají engramy tvar dvanáctistěnu .
• Ve hře "Overwatch" postava Sigma uvolní 2 dvanáctistěny během hlavního útoku .
• Nanoleaf Smart Remote Control [16] .

Viz také

• Pentagondodecahedron  - nepravidelný dvanáctistěn
• kosočtvercový dvanáctistěn
• Rhombicosidodecahedron
• Dvanáctistěny

Poznámky

1. ↑ Selivanov D. F. ,. Geometrické tělo // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona  : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.
2. ↑ Stefano De'Stefani. Intorno un dodecaedro quasi regolare di pietra a facce pentagonali scolpite con cifre, scoperto nelle antichissime capanne di pietra del Monte Loffa  (italsky)  // Atti del Reale Istituto veneto di scienze, lettere ed arti: diario. - 1885-86. - S. 1437-1459 . Viz také obrázek této položky na konci svazku, strana 709 skenovaného souboru
3. ↑ Amelia Carolina Sparavigna. Etruský dvanáctistěn. - arXiv : 1205.0706 .
4. ↑ Platón . " Timaeus "
5. ↑ Euklidovy prvky. Kniha XIII. Návrh 17 . Získáno 1. června 2014. Archivováno z originálu 19. května 2014. (neurčitý)
6. ↑ 1 2 Euklidovské prvky. Knihy XI-XV . - M. - L .: Státní nakladatelství technické a teoretické literatury, 1950.  - Kromě překladu Euklidova díla do ruštiny obsahuje toto vydání v komentářích překlad Pappusových návrhů na pravidelné mnohostěny.
7. ↑ Původní text ve starověké řečtině s paralelním překladem do latiny : Liber III. Návrhy. 58 // Pappi Alexandrini Collectionis . - 1876. - T. I. - S. 156-163.
8. ↑ Roger Herz-Fischler. Matematická historie zlatého  čísla . - Courier Dover Publications , 2013. - S. 117-118.
9. ↑ Hort V. Zoufalé hádanky. Megaminx je složitý dvanáctistěn // Věda a život . - 2018. - č. 1 . - S. 104-109 . Tento článek mimo jiné poskytuje algoritmus pro sestavení megaminxu.
10. ↑ 1 2 3 4 Důkaz v: Cobb, John W. The Dodecahedron  ( 2005-2007). Datum přístupu: 1. června 2014. Archivováno z originálu 4. března 2016.
11. ↑ V tabulce XVII , archivované 7. června 2014 na Wayback Machine čtvrtého dílu jeho monografie o radiolariích, má číslo 2
12. ↑ Optimální fáze zobecněné Poincareho hypotézy dodekaedrálního prostoru implikovaná prostorovou vzájemnou korelační funkcí  map oblohy WMAP . Datum přístupu: 31. října 2012. Archivováno z originálu 7. prosince 2013.
13. ↑ Topologie dodekaedrického prostoru jako vysvětlení pro slabé širokoúhlé teplotní korelace v kosmickém mikrovlnném  pozadí . Datum přístupu: 31. října 2012. Archivováno z originálu 7. prosince 2013.
14. ↑ Jeffrey Weeks. Dodekaedrální prostor Poincare a záhada chybějících  fluktuací . Archivováno z originálu 4. listopadu 2012.
15. ↑ 12 A. T. Bílá . Grafy skupin na plochách: Interakce a modely . - Elsevier , 2001. - S. 45. - 378 s. - ISBN 0-080-50758-1 , 978-0-080-50758-3.
16. ↑ Produkty » Nanoleaf Remote | USA » Spotřebitelské IoT a produkty  pro chytré  osvětlení LED ? . NanoLeaf | USA . Získáno 25. listopadu 2021. Archivováno z originálu dne 25. listopadu 2021.  (neurčitý)

Odkazy

• Wikimedia Commons má média související s Regular dodecahedron