Pravidelný dvacetistěn

Pravidelný dvacetistěn
( rotující model )
Typ	pravidelný mnohostěn
Kombinatorika
Prvky	20 ploch 30 hran 12 vrcholů X  = 2
Fazety	pravidelné trojúhelníky
Konfigurace vertexu	3.3.3.3.3
Dvojitý mnohostěn	pravidelný dvanáctistěn
Vertexová postava
Skenovat
Klasifikace
Notový zápis	já SVATÝ
symbol Schläfli	{3,5}
symbol Wythoff	5 | 2 3
Dynkinův diagram
Skupina symetrie
Rotační skupina
kvantitativní data
Délka ploutve
Plocha povrchu
Hlasitost
Dihedrální úhel
Pevný úhel na vrcholu	St
Mediální soubory na Wikimedia Commons

Pravidelný dvacetistěn (z jiného řeckého εἴκοσι „dvacet“; ἕδρον „sedadlo“, „základna“) je pravidelný konvexní mnohostěn, dvacetistěn [1] , jedno z platónských těles . Každá z 20 ploch je rovnostranný trojúhelník . Počet hran je 30, počet vrcholů je 12. Ikosahedr má 59 hvězdic .

Historie

Euklides ve výroku 16 knihy XIII o „ Počátcích “ se zabývá konstrukcí dvacetistěnu, přičemž nejprve získá dva pravidelné pětiúhelníky ležící ve dvou rovnoběžných rovinách  – z jeho deseti vrcholů, a poté – zbývající dva vrcholy proti sobě [2 ] [3] : 127-131 . Pappus z Alexandrie v „Matematické sbírce“ se zabývá konstrukcí dvacetistěnu vepsaného do dané koule , přičemž dokazuje, že jeho dvanáct vrcholů leží ve čtyřech rovnoběžných rovinách a tvoří v nich čtyři pravidelné trojúhelníky [3] :315-316 [4] .

Základní vzorce

Povrch S , objem V dvacetistěnu s délkou hrany a , jakož i poloměry vepsané a opsané koule se vypočtou podle vzorců:

Náměstí:

Hlasitost:

Poloměr vepsané koule [5] :

Poloměr polovepsané koule je [5]

Poloměr opsané koule [5] :

Vlastnosti

• Dihedrální úhel mezi libovolnými dvěma sousedními plochami dvacetistěnu je arccos(-√5/3) = 138,189685°.
• Všech dvanáct vrcholů dvacetistěnu leží tři ve čtyřech rovnoběžných rovinách a v každém z nich tvoří pravidelný trojúhelník .
• Deset vrcholů dvacetistěnu leží ve dvou rovnoběžných rovinách, tvořících v nich dva pravidelné pětiúhelníky , a zbývající dva jsou vzájemně protilehlé a leží na dvou koncích průměru opsané koule, kolmé k těmto rovinám. Vzdálenost mezi symetrickými dvojicemi výše uvedených rovin tvořených pěti vrcholy je rovna poloměru kružnice popsané kolem tohoto pětiúhelníku. /toto pravidlo docela usnadňuje vytvoření 3D modelu pravidelného dvacetistěnu/.
• Úhel mezi dvěma nejbližšími vrcholy vzhledem ke středu těla dvacetistěnu by se měl nazývat dvacetistěnný úhel ≈ 63,434949°
• Ikosahedrické úhlové podpěry - mají ikosaedrickou symetrii.
• Dvacetistěnný úhel je naprosto shodný=rovná se úhlu úhlopříčky s menší stranou zdvojeného (a=n; b=2n) obdélníku /toto pravidlo platí pro vytvoření 3D modelu pravidelného dvacetistěnu/.
• Do krychle lze vepsat dvacetistěn , přičemž šest vzájemně kolmých hran dvacetistěnu bude umístěno na šesti stěnách krychle, zbývajících 24 hran uvnitř krychle, všech dvanáct vrcholů dvacetistěnu bude ležet na šesti stěnách krychle.
• Čtyřstěn může být vepsán do dvacetistěnu , takže čtyři vrcholy čtyřstěnu jsou zarovnány se čtyřmi vrcholy dvacetistěnu.
• Ikosahedr může být vepsán do dvanáctistěnu , přičemž vrcholy dvacetistěnu jsou zarovnány se středy tváří dvanáctistěnu.
• Dvanáctstěn může být vepsán do dvacetistěnu se zarovnanými vrcholy dvanáctistěnu a středy ploch dvacetistěnu.
• Model dvacetistěnu můžete sestavit pomocí 20 rovnostranných trojúhelníků.
• Je nemožné sestavit dvacetistěn z pravidelného čtyřstěnu, protože poloměr opsané koule kolem dvacetistěnu a délka boční hrany (od vrcholu ke středu takové sestavy) čtyřstěnu je menší než okraj samotného dvacetistěnu. Tetraedry, získané dělením dvacetistěnu, mají povrchový úhel 60° a vnitřní (vzhledem ke středu těla dvacetistěnu) má dvacetistěnný úhel přibližně 63,434949°

Zkrácený dvacetistěn

Zkrácený dvacetistěn  je mnohostěn skládající se z 12 pravidelných pětiúhelníků a 20 pravidelných šestiúhelníků. Má ikosaedrický typ symetrie. Ve skutečnosti klasický fotbalový míč nemá tvar míče, ale komolého dvacetistěnu s vypouklými (kulovitými) plochami.

Zkrácený dvacetistěn lze získat odříznutím 12 vrcholů za účelem vytvoření pravidelných pětiúhelníkových ploch. Současně se počet vrcholů nového mnohostěnu zvětší 5krát (12×5=60), 20 trojúhelníkových ploch se změní na pravidelné šestiúhelníky (celkový počet ploch bude 20+12=32) a počet hran zvýší na 30+12×5=90.

Ve světě

• Ikosahedr je nejlepší ze všech pravidelných mnohostěnů pro triangulaci koule metodou rekurzivního dělení [6] . Vzhledem k tomu, že mezi nimi obsahuje největší počet ploch, je zkreslení výsledných trojúhelníků s ohledem na ty správné minimální.
• Dvacetistěn se používá jako kostka ve stolních hrách na hrdiny a je označen d20 (kostky).

Pevné látky ve tvaru dvacetistěnu

• Kapsidy mnoha virů (např. bakteriofágy , mimiviry ).

Viz také

• hvězdný mnohostěn

Poznámky

1. ↑ Selivanov D. F. ,. Geometrické tělo // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona  : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.
2. ↑ Euklidovy prvky, Kniha XIII, Tvrzení 16 . Získáno 3. září 2014. Archivováno z originálu 30. srpna 2014. (neurčitý)
3. ↑ 1 2 Euklidovské prvky. Knihy XI-XV . - M. - L .: Státní nakladatelství technické a teoretické literatury, 1950.  - Kromě překladu Euklidova díla do ruštiny obsahuje toto vydání v komentářích překlad Pappusových návrhů na pravidelné mnohostěny.
4. ↑ Původní text ve starověké řečtině s paralelním překladem do latiny : Pappi Alexandrini Collectionis . - 1876. - Sv. I.—S. 150-157.
5. ↑ 1 2 3 Důkaz v: Cobb, John W. The Icosahedron  ( 2005-2007). Získáno 3. září 2014. Archivováno z originálu 4. května 2016.
6. ↑ OpenGL Red Book Ch.2 Archivováno 8. ledna 2015.

Literatura

• Klein F. Přednášky o dvacetistěnu a řešení rovnic pátého stupně / F. Klein; za. s ním. A. L. Gorodentsev, A. A. Kirillov, red. A. N. Tyurin. — M .: Nauka , 1989. — 332 s. — ISBN 5020141976 .