Pětiúhelníkový mnohostěn

Pětiúhelníkový polytop  je pravidelný polytop v n - rozměrném prostoru vytvořený z Coxeterovy skupiny H n . Rodinu pojmenoval Harold Coxeter , protože dvourozměrný pětiúhelníkový mnohostěn je pětiúhelník . V závislosti na svém symbolu Schläfli může být nazýván dodekaedrický ({5, 3 n − 2 }) nebo ikosaedrický ({3 n − 2 , 5}).

Rodinní příslušníci

Rodina začíná jednorozměrnými mnohostěny (segment, n = 1) a končí nekonečným obkladem 4rozměrné hyperbolické koule s n = 5.

Existují dva typy pětiúhelníkových mnohostěnů. Jeden typ lze nazvat dodekaedrický mnohostěn a druhý ikosaedrický v závislosti na jeho trojrozměrných částech. Tyto dva typy jsou navzájem duální.

Dodekaedrický mnohostěn

Kompletní rodina dvanáctistěnných mnohostěnů se skládá z:

1. Segment , { }
2. Pentagon , {5}
3. Dvanáctstěn , {5, 3} (12 pětiúhelníkových ploch)
4. Sto dvacet stran , {5, 3, 3} (120 dvanáctistěnných buněk)
5. 120-buněčné plástve řádu 3 , {5, 3, 3, 3} - dláždění hyperbolického 4-rozměrného prostoru

Fasety jakéhokoli dvanáctistěnného mnohostěnu jsou dvanáctistěnné pětiboké mnohostěny o jeden rozměr menší. Jejich vrcholy jsou zjednodušené o jednu dimenzi méně.

n	Skupina Coxeter	Petriho polygon (projekce)	Název Coxeterův diagram Schläfliho symbol	fazety	Prvky
					Vrcholy	žebra	Fazety	Buňky	4 - tváře
jeden	[ ] (objednávka 2)		Úsečka {}	2 vrcholy	2
2	[5] (pořadí 10)		Pentagon {5}	5 žeber	5	5
3	[5,3] (pořadí 120)		dvanáctistěn {5, 3}	12 pětiúhelníků	dvacet	třicet	12
čtyři	[5,3,3] (pořadí 14400)		120 buněk {5, 3, 3}	120 dvanáctistěnů	600	1200	720	120
5	[5,3,3,3] (objednávka ∞)		120 buněčná voština {5, 3, 3, 3}	∞ 120 článků	∞	∞	∞	∞	∞

Ikosahedrické mnohostěny

Kompletní rodina ikosaedrických pětiúhelníkových mnohostěnů se skládá z:

1. Segment , { }
2. Pentagon , {5}
3. Icosahedron , {3, 5} (20 trojúhelníkových ploch)
4. Šest set buněk , {3, 3, 5} (120 čtyřstěnných buněk)
5. Pětibuněčné plástve pátého řádu , {3, 3, 3, 5} — skládání hyperbolického 4-rozměrného prostoru (∞ pětibuněčné fasety)

Fasety jakéhokoli dvacetistěnného pětiúhelníkového mnohostěnu jsou zjednodušením o jeden rozměr méně. Vrcholové obrazce mnohostěnů jsou dvacetistěnné pětiúhelníkové mnohostěny o jednom menším rozměru.

n	Skupina Coxeter	Petriho polygon (projekce)	Název Coxeterův diagram Schläfliho symbol	fazety	Prvky
					Vrcholy	žebra	Fazety	Buňky	4 - tváře
jeden	[ ] (objednávka 2)		Úsečka {}	2 vrcholy	2
2	[5] (pořadí 10)		Pentagon {5}	5 žeber	5	5
3	[5,3] (pořadí 120)		dvacetistěn {3, 5}	20 pravidelných trojúhelníků	12	třicet	dvacet
čtyři	[5,3,3] (pořadí 14400)		Šest set buněk {3, 3, 5}	600 čtyřstěnů	120	720	1200	600
5	[5,3,3,3] (objednávka ∞)		Pětibuněčné plástve pátého řádu {3, 3, 3, 5}	∞ Pětičlánkový	∞	∞	∞	∞	∞

Související stelované mnohostěny a plástve

Z pětiúhelníkových mnohostěnů lze vytvořit hvězdicové tvary a získat tak nové hvězdicovité pravidelné mnohostěny :

• V trojrozměrném prostoru se získají čtyři Kepler-Poinsotovy mnohostěny  - { 3,5/2 }, { 5/2,3 }, { 5,5/2 } a { 5/2,5 }.
• Ve čtyřrozměrném prostoru se získá deset Schläfli-Hessových mnohostěnů : {3,5,5/2} , { {5/2,5,3} , {5,5/2,5} , {5,3,5/2} , {5/2,3,5} , {5/2,5,5/2} , {5,5/ 2,3} , {3,5/2,5} , {3,3,5/2} a {5/2,3,3} .
• Ve čtyřrozměrném hyperbolickém prostoru jsou čtyři pravidelné hvězdicové plástve : {5/2,5,3,3} , {3,3,5,5/2} , {3,5,5/ 2,5 } a {5,5/2,5,3} .

Poznámky

Literatura

• HSM Coxeter . Kaleidoskopy: Vybrané spisy HSM Coxetera / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Wiley-Interscience Publication, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
  • (Paper 10) HSM Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25-36]
• HSM Coxeter . Pravidelné polytopy . - 3. (1947, 63, 73). - New York: Dover Publications Inc., 1973. - S.  292-293 . — ISBN 0-486-61480-8 .