Obklady (geometrie)

Parkety nebo obklady - rozdělení roviny na mnohoúhelníky nebo prostoru na mnohostěny bez mezer a vrstev.

Kromě parket v euklidovské rovině jsou v matematice „parkety“ uvažovány na kouli , hyperbolické rovině v trojrozměrném a vícerozměrném prostoru.

Terminologie

Obklady, mozaiky, parkety, příčky

Parkety se jinak nazývají obklady , mozaiky ( anglicky  tessellation, obklady ), příčky roviny ( anglicky  partition ), parkety . Dlaždice trojrozměrného prostoru a prostorů vyšších dimenzí se často nazývají voštiny .

Na straně 16 knihy Grünbaum a Shepard 's Tilings and Patterns (1987) 2] je následující poznámka:

V matematické literatuře se slova tessellation , dlažba , mozaika a parkety používají zaměnitelně nebo s podobným významem. Německá slova pro mozaiku jsou Pflasterung , Felderung , Teilung , Parkettierung a Zerlegung ; francouzská slova - pavage , carrelage a dallage ; Ruská slova - parkety , příčky a obklady .

Původní text  (anglicky)[ zobrazitskrýt] V matematické literatuře se slova tessellation , dlažba , mozaika a parkety používají synonymně nebo s podobným významem. Německá slova pro obklady jsou Pflasterung , Felderung , Teilung , Parkettierung a Zerlegung . Francouzská slova jsou pavage , carrelage a dallage . Ruská slova jsou parkety , příčky a obklady .

Parkety s plochami (dlaždicemi) libovolného tvaru se někdy nazývají mapy (viz např. věta o čtyřech barvách ).

Nátěry a obaly

Jestliže spojení několika obrazců obsahuje daný obrazec Φ , pak se říká, že tyto obrazce tvoří obal obrazce Φ . V tomto případě se krycí figury mohou překrývat, ale kryjí F figuru bez mezer.

Balení je umístění několika obrazců uvnitř daného obrazce, které nemají společné body, snad kromě hranice (tj. bez překrývání).

Tessellation je rozdělení postavy na části. Dlažba je krytina i obal [2] [3] .

Protopily

Parketové prototiles ( anglicky  prototiles , též prototypy [4] ) jsou dlaždice (formy) obsažené v parketách. Každá parketová dlaždice je shodná s jedním z prototilů [5] .

Jediným prototypem šestihranné parkety je tedy pravidelný šestiúhelník; prototilem pravidelné kulovité pětiúhelníkové parkety je pětiúhelník ; sada protopilů kosočtverečné šestihranné parkety se skládá z rovnostranného trojúhelníku, čtverce a šestiúhelníku .

Parketa se nazývá k -hedral, jestliže soubor jejích prototilů ( protoset ) se skládá z k dlaždic [2] [4] .

Parketové dlaždice se také nazývají líce a strany polygonálních dlaždic se nazývají hrany , analogicky s terminologií pro mnohostěny [6] .

Konfigurace vrcholů a ploch

Rhombotrihexagonal parkety se skládají ze tří typů dlaždic: rovnostranný trojúhelník, čtverec a šestiúhelník . Tyto dlaždice jsou uspořádány kolem každého z vrcholů v následujícím pořadí: trojúhelník, čtverec, šestiúhelník, čtverec. Tato objednávka se nazývá konfigurace parketové desky a je zapsána ve tvaru 3.4.6.4. Pokud jsou dvě nebo více čísel v této sekvenci za sebou, použije se zkrácený zápis: trojúhelníková parketa může být označena jako 3.3.3.3.3.3 nebo jako 3 6 . V tomto případě položky, které se liší pouze cyklickou permutací čísel nebo změnou pořadí položky na opačné (například 3.3.4.3.4 a 4.3.3.4.3), označují stejnou konfiguraci vrcholu; zároveň 3.4.4.6 není ekvivalentní 3.4.6.4 [4] [7] [8] [9] [10] .

U heterogenních parket se mohou vyskytovat vrcholy s různými konfiguracemi.

Konfigurace plochy je posloupnost stupňů vrcholů této plochy, když ji obejdete jedním směrem. Konfigurace obličeje se zapisuje jako posloupnost čísel v hranatých závorkách [2] nebo s předponou V.

Jestliže všechny vrcholy některé parkety mají stejnou konfiguraci se zápisem a 1 .a 2 ....a k , pak všechny plochy jeho dvojité parkety mají stejnou konfiguraci se zápisem Va 1 .a 2 ....a k . Například konfigurace líce parket duální k kosočtvercovým trihexagonálním parketám 3.4.6.4  jsou zapsány jako V3.4.6.4.

Druhy parket

V mnoha případech je přijata podmínka, že každý z prototilů parket je ekvivalentní topologickému disku ; jinými slovy, dlaždice by se neměla skládat z několika částí ( kvazi-polyomino [11] ), obsahovat "díry", být nekonečný pás atd. [2] [4] .

Ploché parkety

Správné parkety

Parkety složené ze stejných pravidelných mnohoúhelníků se nazývají pravidelné parkety ( angl.  pravidelné obklady ). Pravidelné obklady roviny jsou tři: trojúhelníkové parkety , čtvercové parkety a šestihranné parkety [9] [12] [13] .

Běžným parketám se také říká platónské parkety [14] .

Polyformy umístěné na běžných parketách se nazývají polyamandy , polyominoes a polyhexy .

Symbol Schläfli { p , q } se používá k označení parkety pravidelných p -úhelníků uspořádaných q kolem každého vrcholu . Schläfliho symboly tří pravidelných dlaždic jsou {3,6}, {4,4} a {6,3} [6] .

Polopravidelné parkety

Parkety sestávající z pravidelných mnohoúhelníků dvou nebo více typů tak, že pro libovolné dva vrcholy parket dochází k transformaci symetrie (vlastní náhodě), která přemění jeden z nich v druhý, se nazývají semipravidelné obklady nebo archimedovské parkety [9] [ 15] [16] [17] .  

Jedná se o 8 polopravidelných parket [7] [10] [12] [16] [17] . Jedna z osmi polopravidelných parket ( snub-nosed trihexagonal parket ) je chirální , to znamená, že se neshoduje s vlastním zrcadlovým obrazem [4] [7] [16] [17] .

Existují dvě definice vedoucí ke stejné sadě 8 polopravidelných parket na rovině.

První, „lokální“ definice je, že konfigurace vrcholů všech vrcholů se musí shodovat. Jinými slovy, sekvence ploch kolem libovolných dvou vrcholů parkety musí být stejné: stejné polygony musí jít ve stejném (nebo opačném) pořadí.

Druhá, „globální“ definice, vyžaduje, aby pro jakékoli dva vrcholy parket existovala transformace symetrie (samokombinace parket), převádějící jeden z nich do druhého.

Grünbaum a Shepard sdílejí termíny „archimedovské parkety“ ( anglicky  Archimédské obklady ) a „ homogenní parkety “ ( anglicky  jednotné obklady ): první skupina zahrnuje parkety odpovídající „lokální“ definici a druhá – „globální“. Přestože se tyto dvě sady shodují v euklidovské rovině , v jiných prostorech jsou archimedovské parkety, které nejsou homogenní [2] .

V matematické literatuře se význam pojmů "archimedovské parkety", "polopravidelné parkety" a "homogenní parkety" liší.

Kvaziregulární parkety

Kvazipravidelné parkety (nebo mnohostěn) ( anglicky  kvazipravidelný obklad ) - homogenní parketa (nebo mnohostěn), skládající se z ploch dvou typů, střídajících se kolem každého vrcholu; jinými slovy, každá plocha je obklopena plochami jiného typu [18] [19] [20] .

Na euklidovské rovině je pouze jedna kvazipravidelná parketa — tříhranná parketa s vrcholovou konfigurací 3.6.3.6. Na kouli jsou dvě kvazipravidelné parkety ( kulové mnohostěny ) - kuboktaedr a ikosidodekaedr .

Na Lobačevského rovině je nekonečná sada kvazipravidelných parket tvaru , kde

Heterogenní parkety

Nejednotných ( anglicky  non-uniform ) parket, které se skládají z pravidelných mnohoúhelníků, je nekonečné množství .

  • Nesourodé parkety z pravidelných mnohoúhelníků

  • 3 2,6 2 , 3 6

  • 3 2,6 2 , 3.6.3.6

  • 3 2 .4.12, 3 6

  • 3.4 2.6 , 3.6.3.6

Periodické nehomogenní parkety lze klasifikovat podle počtu oběžných drah vrcholů, hran a ploch. Je-li počet oběžných drah vrcholu roven n , parketa se nazývá n -uniformní ( anglicky  n-uniform ) nebo n -izogonální; pokud je počet okrajových drah n - n - isotoxal ( ang.  n -isotoxal ). Výše uvedené příklady jsou čtyři z dvaceti 2-homogenních parket [2] [9] [21] .


Neperiodické parkety a neperiodické sady dlaždic

Přepážka T se nazývá periodická , pokud mezi symetriemi T existují dva paralelní posuny v neparalelních směrech. V tomto případě lze mozaiku považovat za složenou z opakování malého fragmentu, vyskládaného z prvků v uzlech nějaké mřížky. Množina prototypů (protoset) P se nazývá aperiodická , pokud je realizována v některých přepážkách roviny, ale žádná z těchto přepážek není periodická [4] .

První příklad aperiodické sady dlaždic nalezl Robert Berger v roce 1966 a zahrnoval 20 426 dlaždic Wang [2] [24] . Wangovy dlaždice jsou čtverce stejné velikosti s malovanými stranami; při stavbě mozaiky je dovoleno kombinovat dlaždice pouze s jednobarevnými stranami a je zakázáno dlaždice obracet.

Později byly nalezeny aperiodické protosety s menším počtem dlaždic. Roger Penrose objevil aperiodické protosety sestávající ze dvou dlaždic [2] [23] [25] .

V roce 2010 Joshua Socolar a John Taylor navrhli aperiodickou sadu skládající se z jediné dlaždice , což je pravidelný šestiúhelník označený barevnými čarami a s dalšími omezeními souvisejícími s relativní polohou nedotýkajících se dlaždic [26] . Existuje modifikace, která taková omezení nepoužívá, ale používá odpojenou dlaždici, tj. dlaždici, která není topologickým diskem . Otevřeným problémem zůstává existence jedné spojené dlaždice bez dalšího značení a omezení, která je schopna pokrýt rovinu pouze aperiodicky [26] [27] .

Sférické mnohostěny

Kulová parketa nebo kulový mnohostěn je rozdělení koule na kulové mnohoúhelníky oblouky velkých kružnic [28] .

Každé z 5 platónských těles odpovídá běžné kulové parketě. Formálně nechť S je koule se středem O shodným se středem mnohostěnu P . Paprsky tažené z O procházející vrcholy mnohostěnu P protínají kouli S v bodech, které jsou vrcholy příslušné kulové parkety; okraje mnohostěnu P odpovídají obloukům velkých kružnic na S .

Kromě sférických analogů pěti „platónských těles“ existují dvě rodiny pravidelných sférických mnohostěnů, které nemají ekvivalenty mezi mnohostěny s plochými plochami: osohedra - mnohostěny se dvěma vrcholy umístěnými na pólech koule, jejichž plochy jsou kongruentní digony a dihedra - dihedra duální k osohedrům, jejichž vrcholy jsou na rovníku koule.

Hyperbolické parkety

Euklidův axiom paralelismu (přesněji jeden z jeho ekvivalentních výroků) říká:

Bodem, který neleží na dané přímce, prochází nejvýše jedna přímka, která leží s danou přímkou ​​ve stejné rovině a neprotíná ji.

V Lobačevského geometrii je místo toho přijat následující axiom:

Bodem neležícím na dané přímce procházejí alespoň dvě přímky, které leží s danou přímkou ​​ve stejné rovině a neprotínají ji.

Pro zobrazení hyperbolické roviny je použit jeden z existujících modelů - Beltrami-Kleinův model , Poincarého konformní disk , Poincarého model na polorovině [29] .

Na euklidovské rovině jsou pouze tři běžné parkety a 8 polopravidelných parket. V hyperbolické rovině je nekonečné množství sudých pravidelných parket, včetně parket se sedmi nebo více rovnostrannými trojúhelníky kolem vrcholu, pěti nebo více čtverci, čtyřmi nebo více pravidelnými pětiúhelníky (parketa se třemi pětiúhelníky kolem vrcholu je kulový dvanáctistěn ) , čtyři nebo více pravidelných šestiúhelníků a tři a více stejných pravidelných mnohoúhelníků s více než 6 stranami.

Problémy na parketách

Velké množství úkolů a hádanek je spojeno s dělením obdélníků (nebo jiných spojených tvarů) na dlaždice z určité dané sady prototilů. V tomto případě mohou být samotné prototily spojeny kombinacemi buněk běžné parkety .

Konkrétně se jedná o třídu problémů o mozaikování m  ×  n obdélníků s domino dlaždicemi takovým způsobem, že ve výsledné přepážce není žádná přímka, která protíná obdélník od okraje k okraji a neprotíná žádné domino dlaždice; takovým obdélníkům se říká „silné“ [4] [11] [30] .

V jiných úkolech je stanoven další limit na počet dlaždic každého typu použitých v dlaždici. V problémech týkajících se pentomina je nutné pokrýt 12 figurami danou podmnožinu čtvercové parkety, která se skládá z 60 buněk (obdélníky 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12, 6 × 10, šachovnice se čtvercovým tetraminem vystřihnout uprostřed atd.); každá dlaždice však musí být použita právě jednou [11] [30] .

Výčet parket

Problém stanovení počtu parket sestávajících z konvexních polygonů daného typu byl vyřešen pouze částečně:

  • Libovolný trojúhelník nebo čtyřúhelník může obložit rovinu [4] [31] [32] .
  • Je známo 15 pětiúhelníků schopných obložit letadlo; není známo, zda je tento seznam úplný [1] . Problém výčtu pětiúhelníkových parket má bohatou historii [4] a možná již byl vyřešen [33] [34] .
  • Jsou známy 3 typy šestiúhelníků schopných obkládat rovinu [4] [35] .
  • Není možné obložit rovinu se shodnými konvexními polygony s více než nebo rovnými sedmi stranám [4] [36] .

Viz také

Poznámky

  1. ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Pentagon Tiling  na webu Wolfram MathWorld .
  2. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B. Grünbaum , G. C. Shephard. Obklady a vzory . — New York: W. H. Freeman & Co., 1987. — ISBN 0-7167-1193-1 .
  3. ↑ Jak se řeší nestandardní úlohy / Ed. V. O. Bugaenko. - M. : MTSNMO , 2008. - S. 49. - 96 s. - ISBN 978-5-94057-331-9 .
  4. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 David A. Klarner . Matematická květinová zahrada.
  5. ↑ Prototil . Encyklopedie matematiky. Získáno 12. srpna 2013. Archivováno z originálu 2. září 2013.
  6. ↑ 1 2 Coxeter, Úvod do geometrie, 1966, §6, str. 100–104.
  7. ↑ 1 2 3 Henry Martyn Cundy, A. P. Rollett. Matematické  modely . - 2. vyd. - Oxford University Press, 1961. - S. 59-65.
  8. ↑ Paul Burke. Jednotné mnohostěny . Získáno 12. srpna 2013. Archivováno z originálu 2. září 2013.
  9. ↑ 1 2 3 4 Chavey, D. Dlaždice pomocí pravidelných mnohoúhelníků — II: Katalog dlaždic  (neurčité)  // Počítače a matematika s aplikacemi . - 1989. - T. 17 . - S. 147-165 . - doi : 10.1016/0898-1221(89)90156-9 .
  10. ↑ 1 2 Co je mozaika? . Matematické fórum. Získáno 12. srpna 2013. Archivováno z originálu 2. září 2013.
  11. ↑ 1 2 3 Golomb S.V. Polyomino \u003d Polyominoes / Per. z angličtiny. V. Firsová. Úvodní slovo a ed. I. Yagloma. — M .: Mir, 1975. — 207 s.
  12. ↑ 1 2 Encyklopedie pro děti. T. 11. Matematika / Kapitola. vyd. M. D. Aksenová; metoda. a resp. vyd. V. A. VOLODIN - M .: Avanta + , 2003. - S. 297-300. — 688 s. — ISBN 5-94623-072-7 .
  13. ↑ Weisstein, Eric W. Regular Tessellation  na webu Wolfram MathWorld .
  14. ↑ Steven Gillispie. Platónské plošné obklady . Archivováno z originálu 26. října 2008.
  15. ↑ Weisstein, Eric W. Semiregular Tessellation  (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
  16. ↑ 1 2 3 Steven Dutch. Archimedean Tilings (2. července 1999). Archivováno z originálu 20. ledna 2013.
  17. ↑ 1 2 3 John Baez. Archimédské obklady a egyptské zlomky . Azimut (5. února 2012). Získáno 12. srpna 2013. Archivováno z originálu 2. září 2013.
  18. ↑ M. Wenninger. Polyhedra Models = Polyhedron Models / Z angličtiny přeložil V. V. Firsov, upravil a s doslovem I. M. Yaglom. — M .: Mir, 1974. — 236 s.
  19. ↑ George Hart. Kvazipravidelné mnohostěny . Virtuální mnohostěny: Encyklopedie mnohostěnů. Získáno 19. srpna 2013. Archivováno z originálu dne 2. září 2013.
  20. ↑ HSM Coxeter. Pravidelné  polytopy . - 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
  21. ↑ Steven Dutch. Jednotné obklady (2. července 1999). Archivováno z originálu 20. ledna 2013.
  22. ↑ Penrose R. (1979/80), Pentaplexity , Math. Intel. Vol. 2: 32–37 , < http://www.ma.utexas.edu/users/radin/pentaplexity.html > Archivováno 7. června 2011 ve Wayback Machine (archivováno na) 
  23. ↑ 12 David Austin . Penrose Tiles Talk Across Miles . Sloupec funkcí od AMS. Získáno 18. srpna 2013. Archivováno z originálu 2. září 2013.
  24. ↑ Burger, R. Nerozhodnutelnost problému Domina  //  Memoirs of the American Mathematical Society. - 1966. - Sv. 66 . - str. 1-72 .
  25. ↑ R. Penrose (odkaz není k dispozici) . Encyklopedie obkladů. Získáno 13. srpna 2013. Archivováno z originálu 2. září 2013. 
  26. ↑ 1 2 Socolar J. Aperiodická šestiúhelníková dlaždice  (neurčitá) . - . - arXiv : 1003.4279 .
  27. ↑ Socolar a Taylorova aperiodická dlaždice . Maxwellův démon. Získáno 18. srpna 2013. Archivováno z originálu 2. září 2013.
  28. ↑ Weisstein, Eric W. Spherical Polyhedron  na webu Wolfram MathWorld .
  29. ↑ Coxeter, Úvod do geometrie, 1966, kap. 16, str. 415–440.
  30. ↑ 1 2 Martin Gardner . Matematické hádanky a zábava = Matematické hádanky a odbočky / Per. Yu. A. Danilova , ed. Ano, A. Smorodinsky . - 2. - M .: Mir, 1999. - ISBN 5-03-003340-8 .
  31. ↑ Weisstein, Eric W. Triangle Tiling  na webu Wolfram MathWorld .
  32. ↑ Weisstein, Eric W. Quadrilateral Tiling  na webu Wolfram MathWorld .
  33. ↑ Michael Rao . Vyčerpávající hledání konvexních pětiúhelníků, které tvoří dlaždice letadla Archivováno 2. srpna 2017 na Wayback Machine
  34. ↑ Matematik našel všechny parketové polygony
  35. ↑ Weisstein, Eric W. HexagonTiling  na webu Wolfram MathWorld .
  36. ↑ Weisstein, Eric W. Tiling  na webu Wolfram MathWorld .

Literatura

Odkazy