Pětibuňkový

Pětibuňkový
Schlegelův diagram : projekce ( perspektiva ) pětičlánku do trojrozměrného prostoru
Typ	Pravidelný čtyřrozměrný polytop
symbol Schläfli	{3,3,3}
buňky	5
tváře	deset
žebra	deset
Vrcholy	5
Vertexová postava	pravidelný čtyřstěn
Dvojitý polytop	On ( sebedvojí )

Pravidelný pětičlánkový nebo jednoduše pětičlánkový [1] nebo pentachora (z jiného řeckého πέντε - „pět“ a χώρος - „místo, prostor“) je jednou ze šesti pravidelných vícebuňkových ve čtyřech- dimenzionální prostor : pravidelný čtyřrozměrný simplex .

Objevil Ludwig Schläfli v polovině 50. let 19. století [2] . Schläfliho symbol pěti buněk je {3,3,3}.

Duální pro sebe. Na rozdíl od ostatních pěti pravidelných multibuněk nemá středovou symetrii .

Používá se ve fyzikálně-chemické analýze ke studiu vlastností vícesložkových systémů [3] .

Popis

Omezeno na 5 trojrozměrných buněk - identické pravidelné čtyřstěny . Jakékoli dvě buňky sousedí; úhel mezi nimi je $\arccos \,{\frac {1}{4}}\cca 75{,}52^{\circ }.$

Jeho 10 dvourozměrných ploch jsou identické pravidelné trojúhelníky . Každá tvář sdílí 2 sousední buňky.

Má 10 stejně dlouhých žeber. Každá hrana má 3 plochy a 3 buňky.

Má 5 vrcholů. Každý vrchol má 4 hrany, 6 ploch a 4 buňky. Jakékoli 2 vrcholy jsou spojeny hranou; libovolné 3 vrcholy patří stejné ploše; libovolné 4 vrcholy patří do stejné buňky.

Na pětičlánkovou buňku lze pohlížet jako na pravidelnou čtyřrozměrnou pyramidu se čtyřstěnnou základnou.

V souřadnicích

První způsob umístění

Pětibuňku lze umístit do kartézského souřadnicového systému tak, aby její vrcholy měly souřadnice $(1;1;1;0),$ $(1;-1;-1;0),$ $(-1;1;-1;0),$ $(-1;-1;1;0),$ $(0;0;0;{\sqrt {5))).$

V tomto případě bude bod středem vepsaných, opsaných a polovepsaných trojrozměrných hypersfér . $\left(0;0;0;{\frac {\sqrt {5}}{5}}\right)$

Druhý způsob umístění

Pokud umístíte pětičlánkovou buňku tak, že její vrcholy mají souřadnice, pak budou ležet na hyperkouli o poloměru se středem v počátku. $\left({\frac {\sqrt {5}}{4));{\frac {\sqrt {5}}{4}};{\frac {\sqrt {5}}{4}} ;{\frac {1}{4}}\right),$ $\left({\frac {\sqrt {5}}{4));-{\frac {\sqrt {5}}{4}};-{\frac {\sqrt {5}}{4 ));{\frac {1}{4}}\right),$ $\left(-{\frac {\sqrt {5}}{4));{\frac {\sqrt {5}}{4}};-{\frac {\sqrt {5}}{4 ));{\frac {1}{4}}\right),$ $\left(-{\frac {\sqrt {5}}{4);-{\frac {\sqrt {5}}{4));{\frac {\sqrt {5}}{4 ) );{\frac {1}{4}}\right),$ $\left(0;0;0;-1\right),$ $jeden$

Třetí uspořádání

V pětirozměrném prostoru je možné umístit pětibuňku tak, aby všechny její vrcholy měly celočíselné souřadnice: $(1;0;0;0;0),$ $(0;1;0;0;0),$ $(0;0;1;0;0),$ $(0;0;0;1;0),$ $(0;0;0;0;1).$

Středem vepsaných, opsaných a polovepsaných hypersfér bude bod $\left({\frac {1}{5));{\frac {1}{5));{\frac {1}{5));{\frac {1}{5)); {\frac {1}{5}}\right).$

Ortogonální projekce na rovinu

Metrické charakteristiky

Pokud má pětičlánková hrana délky, pak její čtyřrozměrný hyperobjem a trojrozměrná povrchová hyperarea jsou vyjádřeny jako $A,$

V_{4}={\frac {\sqrt {5}}{96}}\;a^{4}\ \approx 0{,}0232924a^{4},

S_{3}={\frac {5{\sqrt {2}}}{12}}\;a^{3}\approx 0{,}5892557a^{3}.

Poloměr popisované trojrozměrné hypersféry (procházející všemi vrcholy multibuňky) se pak bude rovnat

R={\frac {\sqrt {10}}{5}}\;a\cca 0{,}6324555a,

poloměr vnější polovepsané hypersféry (dotýkající se všech hran v jejich středových bodech) —

\rho _{1}={\frac {\sqrt {15}}{10}}\;a\cca 0{,}3872983a,

poloměr vnitřní polovepsané hypersféry (dotýkající se všech tváří v jejich středech) —

\rho _{2}={\frac {\sqrt {15}}{15}}\;a\cca 0{,}2581989a,

poloměr vepsané hypersféry (dotýká se všech buněk v jejich středech) —

r={\frac {\sqrt {10}}{20}}\;a\cca 0{,}1581139a.

Nesprávné pětičlánky

Někdy slovo "pětibuňka" může označovat nejen pravidelný, ale také libovolný čtyřrozměrný simplex .

Poznámky

↑ D.K. Bobylev . Čtyřrozměrný prostor // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.
↑ George Olshevsky. Pentachoron // Slovník pro hyperprostor.
↑ Alexandr Semjonov. Polyedrický pentatop // Věda a život . - 2018. - č. 5 . - S. 66-74 . (Ruština)

Odkazy

Weisstein , Eric W. Five- Cell ve společnosti Wolfram MathWorld .

Základní konvexní pravidelné a homogenní polytopy v rozměrech 2–10
Rodina	A n	B n	I₂(p) / D n	E₆ / E7 / E8 / F4 / G2	H4
pravidelný mnohoúhelník	pravoúhlý trojuhelník	Náměstí	Pravidelný p-gon	Pravidelný šestiúhelník	pravidelný pětiúhelník
Jednotný mnohostěn	pravidelný čtyřstěn	Pravidelný osmistěn • Krychle	půl kostky		Pravidelný dvanáctistěn • Pravidelný dvacetistěn
Jednotná multibuňka	Pětibuňkový	16článkový • Tesseract	Semitesseract	24-článkový	120článkový • 600článkový
Homogenní 5-polytop	Běžný 5-simplex	5-ortoplex • 5-hypercube	5-polohyperkrychle
Homogenní 6-polytop	Běžný 6-simplex	6-orthoplex • 6-hypercube	6-polohyperkrychle	1 22 • 2 21
Homogenní 7-polytop	Běžný 7-simplex	7-ortoplex • 7-hypercube	7-polohyperkrychle	1 32 • 2 31 • 3 21
Homogenní 8-polytop	Běžný 8-simplex	8-orthoplex • 8-hypercube	8-půl-hyperkrychle	1 42 • 2 41 • 4 21
Homogenní 9-polytop	Běžný 9-simplex	9-ortoplex • 9-hypercube	9-polohyperkrychle
Homogenní 10-polytop	Běžný 10-simplex	10-ortoplex • 10-hypercube	10-půl-hypercube
Jednotný n - polytop	Pravidelné n - simplexní	n - ortoplex • n - hyperkrychle	n - semi-hypercube	1 k2 • 2 k1 • k 21	n - pětiúhelníkový mnohostěn
Témata: Rodiny polytopů • Regulární polytopy • Seznam regulérních polytopů a jejich sloučenin

Mnohostěn

opravit

Trojrozměrný (platónská tělesa)	pravidelný čtyřstěn Krychle Osmistěn dvanáctistěn dvacetistěn
4D	Pětibuňkový tesseract Hexadecimální buňka dvacet čtyři buňky 120 buněk Šest set buněk
Větší rozměr (uveden v závorce)	Obyčejný simplex Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) hyperoktaedru

Pravidelné
nekonvexní

Trojrozměrné podle počtu
tváří (uvedeno v závorkách)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
trojstěn (3)
čtyřstěn (4)
pětistěn (5)
šestistěn (6)
Heptahedron (7)
osmistěn (8)
Enneahedron (9)
Decahedron (10)
Endecahedron (11)
dvanáctistěn (12)
Tridecahedron (13)
Tetradecahedron (14)
Pentadecahedron (15)
šestistěn (16)
Heptadecahedron (17)
Octadecahedron (18)
Enneadecahedron (19)
dvacetistěn (20)
Icosotetrahedron (24)
triakontahedr (30)
Hexacontahedron (60)
Enneacontahedron (90)
Hektotriadiohedron (132)
Apeirohedron (∞)

konvexní

Archimédova tělesa

Katalánská těla

Hranoly
trojboký hranol čtyřboký hranol Pětiboký hranol Šestihranný hranol Sedmiboký hranol Osmiboký hranol Devítiúhlý hranol Dekagonální hranol Jedenáctiúhlý hranol Dvanáctiúhelníkový hranol

Johnson mnohostěn

Vzorce ,
věty ,
teorie

jiný

symbol Schläfli
Polygony	{jeden} {2} {3} {čtyři} {5} {6} {7} {osm} {9} {deset} {jedenáct} {12} {čtrnáct} {patnáct} {17} {osmnáct} {dvacet} {třicet} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
hvězdné polygony	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
Ploché parkety _	{3,6} {4,4} {6,3}
Pravidelné mnohostěny a kulové parkety	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
Kepler-Poinsotův mnohostěn	{5/2,5} {5,5/2} {5/2,3} {3,5/2}
voštiny	{4,3,4}
Čtyřrozměrné mnohostěny	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}